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63 第二章 连续时间系统的时域分析 2 1 学习重点 1 建立系统的数学模型 微分方程 描述系统激励 tf与响应 ty的关系 对连续 时间系统进行时域分析 2 学会应用经典时域分析法求解微分方程 3 深刻理解系统的零状态响应为 tyzs 零输入响应为 tyzi 以及全响应 会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解 4 深刻理解系统的冲激响应 th以及阶跃响应 tg的意义 掌握其求解方法 5 掌握卷积积分的定义 性质和运算 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状 态响应 tyzs 6 利用 MATLAB进行 LTI 连续系统的时域分析 2 2 教材习题同步解析 2 1 列写图2 1所示中 tutiti 021 的微分方程 知识点窍 本题考察系统方程的基尔霍夫定 律 逻 辑 推 理 对 任 一 点 有 KCL 0ti 对任一回路有 KVL 0tu 解 因 LR uu 1 根据 VCR 有 图 2 1 64 dt tdi LtRi 2 1 即 dt tdi ti 2 1 2 根据 KVL tututute cRR 21 根据 VCR titiRtuR 1111 2 titititiRtuR 212122 22 dt tdu dt tdu Ctititi cc c 2 1 21 式和 式代入 式中 有 tutitite c 21 24 将 式代入 式中 得到 tuti dt tdi te c 2 2 22 对 式求一阶导 有 dt tdu dt tdi dt tid dt tde c 2 2 2 2 22 将 式代入 式中 有 titi dt tdi dt tid dt tde 21 2 2 2 2 2222 再将 式代入 式中 得到 ti2的微分方程为 dt tde ti dt tdi dt tid 2 2 2 2 2 232 对 式求一阶导 得到 dt tdu dt tdi dt tdi dt tde c 21 24 将 式 式代入 式中 得到 titi dt tdi dt tde 21 1 264 对 式求导 得到 dt tdi dt tdi dt tid dt ted 21 2 1 2 2 2 264 再将 式代入 式中 得到 ti1的微分方程为 65 ti dt tdi dt tid dt ted 1 1 2 1 2 2 2 464 根据 KVL 有 tutitutute R0101 2 对 式求一阶导和二阶导 得到 dt tdu dt tdi dt tde 01 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 dt tud dt tid dt ted 式子 2 式 3 式 2 消去 ti1 整理后得到 tu0的微分方程为 te dt tde dt ted tu dt tdu dt tud 23232 2 2 0 0 2 0 2 2 2 已知描述系统的微分方程如下 1 02 3 tytyty 2 02 2 tytyty 3 0 2 tytyty 当初始条件为 00 10 yy时 求零输入响应 知识点窍 本题考察常系数微分方程经典解法 逻辑推理 利用系统的特征方程 求出齐次解 代入初始状态求解 解 1 由原微分方程可得其特征方程为 023 2 可解得特征根为 2 1 21 微分方程齐次解为 tt h eAeAty 2 21 由初始状态为 00 10 yy 则有 02 1 21 21 AA AA 66 由联立方程可得 1 2 21 AA 故系统的零输入响应为 tt zi eety 2 2 2 由原微分方程可得其特征方程为 022 2 可解得特征根为 i 1 2 1 微分方程齐次解为 tCtCety t h sincos 21 由初始状态为 00 10 yy 则有 0 1 21 1 CC C 由联立方程可得 1 1 21 CC 故系统的零输入响应为 ttety t zi sincos 3 由原微分方程可得其特征方程为 012 2 可解得特征根为 1 2 1 微分方程齐次解为 tt h teCeCty 21 由初始状态为 00 10 yy 则有 0 1 21 1 CC C 由联立方程可得 1 1 21 CC 故系统的零输入响应为 tt zi teety 2 3 已知描述系统的微分方程如下 1 0 2 3 tytyty 67 2 0 2 tytyty 当初始状态为 10 0 0 yyy时 求零输入响应 知识点窍 本题考察常系数微分方程经典解法 逻辑推理 利用系统的特征方程 求出齐次解 代入初始状态求解 解 1 由原微分方程可得其特征方程为 023 23 可解得特征根为 2 1 0 321 微分方程齐次解为 tt h eCeCCty 2 321 由初始状态为 10 0 0 yyy 则有 14 12 1 32 32 321 CC CC CCC 由联立方程可得 1 3 3 321 CCC 故系统的零输入响应为 tt zi eety 2 33 2 由原微分方程可得其特征方程为 02 23 可解得特征根为 1 0 3 21 微分方程齐次解为 321 CteCeCty tt h 由初始状态为 10 0 0 yyy 则有 12 1 1 21 21 31 CC CC CC 由联立方程可得 4 2 3 321 CCC 故系统的零输入响应为 423 tt zi teety 68 2 4 已知某 LTI 系统的微分方程模型为 tftytyty 2 1 用两种方法 微分方程法和卷积积分法 求该系统的阶跃响应 tg 2 求系统对输入 ttetf t 3cos 2 的零状态响应 知识点窍 本题考察 L T I系统的微分方程的单位冲激响应和单位阶跃响应 及其关系 零状 态响应的卷积求解法 逻辑推理 求阶跃响应时可采取两种方法 直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应 或 利用冲激响应积分 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到 解 1 方法一 微分方程法 由微分方程得特征根为 1 2 21 由此可得阶跃响应形式为 teCeCtg tt 2 1 2 2 1 对上式求一阶 二阶导数 得 teCeCteCeCtg tttt 2 1 2 2 2 12 2 1 teCeCteCeC teCeCteCeCtg tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 1 2 24 将阶跃响应 tg及其一阶 二阶导数代入原方程 得 tteCeCteCeCt tttt 2 1 2 1 33 2 2 12 2 1 利用单位冲激函数的性质 得 0 2 1 33 2 1 33 212 2 1 CCteCeC tt 02 2 1 2 1 21212 2 1 tCCtCCteCeC tt 69 得 02 0 2 1 21 21 CC CC 则得系数 3 1 6 1 21 CC 将其代入得阶跃响应 th teetg tt 2 1 3 1 6 1 2 方法二 卷积积分法 由微分方程求得特征根 进而可得冲激响应形式为 teCeCth tt 2 2 1 对上式求一阶 二阶导数 得 teCeCteCeCth tttt 2 2 12 2 1 2 teCeCteCeC teCeCteCeCth tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 24 将冲激响应 th及其一阶 二阶导数代入原方程 即 tteCeCteCeC tttt 33 2 2 12 2 1 利用单位冲激函数的性质 得 ttCCtCCtCC 212121 2 33 得 12 0 21 21 CC CC 则得系数 3 1 3 1 21 CC 将其代入得冲激响应 teeth tt 3 1 3 1 2 则系统的阶跃响应为 tdee dtee tthtg t 0 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 70 tee tee tt t tt 2 1 3 1 6 1 3 1 6 1 2 0 2 2 当输入 ttetf t 3cos 2 时 系统的零状态响应为 tetee tetee tteete dteete dteedte dtteee tfthty ttt ttt ttt t t t t tt tt t zs 3sin3cos1 18 1 3sin 18 1 3cos 18 1 18 1 3sin 6 1 3cos 6 1 6 1 3 1 3sin 9 1 3cos 3 1 3sin 3 1 3 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3 1 33 22 322 0 32 0 2 00 322 22 2 5 设一个 LTI 系统的输入和输出分别为 tf和 ty 试用两种方法证明 当系统的输入为 tf 时 输出为 ty 知识点窍 本题考察 L T I 系统的性质 逻辑推理 利用零状态响应与冲激响应的卷积关系或系统的时不变性 证明 方法一 令系统的单位响应为 th 则有 thtfty 当系统的输入为 tf 时 tyty dt d dtfh dt d dtf dt d hthtf 即证明当系统的输入为 tf 时 输出为 ty 方法二 根据倒数定义有 0 0 0 0 lim t tfttf tf t 71 根据 LTI 系统的时不变性 可得 00 ttyttf 则有 ty t tytty t tfttf tf tt limlim 0 0 0 0 0 0 00 即证明当系统的输入为 tf 时 输出为 ty 2 6 已知函数波形如图 2 2 所示 计算下面的卷积积分 并画出其波形 1 tftf 21 2 tftf 31 3 tftftf 321 4 tftf 42 5 tftf 54 6 tftf 64 7 tftf 52 8 tftf 76 9 tftf 85 10 tftf 87 图 2 2 知识点窍 本题考察卷积求解法 逻辑推理 函数 tfi与函数 tf j 相卷积后的值 ty 就是在变量 由 到 范围内 对某一t值时乘积 tff ji 曲线下的面积 或利用卷积积分的微分和积分性质以及冲激函数卷 积性质求解 即若 72 tftftftftf 1221 则其微分 tftftftftf 1 212 1 1 1 积分 tftftftftf 1 212 1 1 1 含有冲激函数的卷积有 tfttf 00 ttftttf tfttf t dftfttf 1 解 1 如图可知 11 2 tttf 由含有冲激函数的卷积可得 11 11 11 121 tftf tttftftf 其波形如图 2 3 所示 图 2 3 图 2 4 2 如图可知 321 3 ttttf 由含有冲激函数的卷积可得 3211 321 111 131 tftftf ttttftftf 其波形如图 2 4 所示 3 由卷积积分性质可知 tftf 21 t 4 3 2 1 1 1 0 tftf 21 1 t 2 1 2 1 0 73 43221 43221 32111 32111 11111 111111 11 1321 tftftftftf tftftftftftf ttttftf ttttttftftftf 其波形如图 2 5 所示 图 2 5 4 如图可知 11 2 tttf 由含有冲激函数的卷积可得 11 11 44 42442 tftf tttftftftftf 其波形如图 2 6 所示 图 2 6 5 由卷积积分的积微性可知 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 454 tftf tftttftftftf tftftf 321 t 2 1 1 5 4 3 2 1 0 1 2 tftf 42 t 1 1 0 1 74 由图可知 11 10 5 t tt tf 即可求得 1 2 1 10 2 1 2 1 5 tt tt tf 其波形如图 2 7 所示 图 2 7 6 由卷积积分的积微性可知 3212 3222122 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 6 1 464 tftftftf tttttftftftftf 由图可知 11 1 4 tttttf 即得 443322221122 64 tttttttttttftf 其波形如图 2 8 所示 图 2 8 7 由图可知 1111 55552 tftftftttftf 其波形如图 2 9 所示 8 由图可知 3212 3222122 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 676 tftftftf tttttftftftftf tftf 64 2 t 4 3 0 1 2 t tftf 54 1 2 1 0 75 图 2 9 由图可知 2233 1 7 tttttf 即得 112112222332 76 tttttttttttftf 其波形如图 2 10 所示 图 2 10 图 2 11 9 由卷积积分的积微性可知 221 221 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 85885 tftftf tfttttftftftftftf 由图可知 11 10 5 t tt tf 即可求得 1 2 1 10 2 1 2 1 5 tt tt tf 其波形如图 2 11 所示 10 由卷积积分的积微性可知 221 221 1 7 1 7 1 7 1 7 1 8 1 787 tftftf ttttftftftftf tftf 85 t 3 2 1 0 3 2 1 2 tftf 76 2 t 1 0 3 2 1 tftf 52 t 2 2 1 1 0 76 由图可知 2233 1 7 tttttf 即得 tttttttftf 211333 87 其波形如图 2 12 所示 图 2 12 2 7 利用冲激函数的取样性质 计算下列积分 1 tdttsin 4 2 dtet t 3 3 dttt 41 2 4 dt t t t 2sin 5 dtttt 10 10 2 5232 6 dtttt52 4 1 2 10 10 7 dttt t t 0 0 2 8 1 1 2 4 dtt 知识点窍 本题考察冲激函数的取样性质 逻辑推理 000 tttftttf 00 tfdttttf 0 0 1 tttt tt tt n n n 00 0 00 00 tttftttftttf tftfttf 01 0 n n n fdtttf fdtttf tftf 87 t 2 0 1 3 1 77 00 0 0 1tfdttttf tfdttttf n n n 解 1 2 2 4 sinsin 4 tdtt 2 3 3edtet t 3 544141 1 222 t tdtttdttt 4 2 2 2sin 2 2sin dt t t tdt t t t 5 dttttdtttt 10 10 2 10 10 2 52 2 3 2 1 5232 2 1 5 2 3 2 3 2 2 1 2 6 0145252 4 1 4 1 4 1 22 10 10 tt ttt dt d dtttt 7 1 22 0 0 0 t dttt t t 8 0224 1 1 1 1 2 dtttdtt 2 8 求图 2 13 a 所示系统的零状态响应 ty 并画出其波形 已知 tf tfkkTt k 2 1 0 2L 的波形如图 2 13 b 所示 图 2 13 知识点窍 本题考察系统的零状态响应求解法 逻辑推理 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到 解 系统的单位冲激响应为 78 TttdtTth t th的波形如图 2 14 a 所示 故得零状态响应为 12 kk zs kTththkTtthtfty ty的波形如图 2 14 b 所示 a b 图 2 14 2 9 图 2 15 电路 已知 sAiAittf 20 10 求全响应 ti 图 2 15 知识点窍 本题考察系统的全响应求解法 逻辑推理 基尔霍夫定律列出系统的微分方程 系统的全响应是由零输入响应与零状态响应 组成 零输入响应通过经典法求取 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到 解 1 电路的微分方程为 tfti p p 6 5 即 tpftipp 65 2 故 tfpHtf pp p ti 65 2 故得转移算子为 79 3 3 2 2 3265 2 pppp p pp p pH 2 零输入响应的通解为 tt x eAeAti 3 2 2 1 将初始条件 sAiAi 20 10 代入上式可得5 1 A 4 2 A 故得零输入响应为 teeti tt x 32 45 A 3 电路的单位冲激响应为 teeth tt 32 32 A 4 电路的零状态响应为 teetthtfti tt f 32 32 tettet tt 32 32 tee tt 32 A 5 全响应为 teetititi tt fx 32 56 A 2 10 图 2 16 a 所示电路 激励 tf的波形如图 2 16 b 所示 求零状态响应 tuc 并画出波 形 图 2 16 知识点窍 系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到 逻辑推理 先求取系统的冲激响应 再通过冲激响应与激励函数相卷积即可求得 解 该电路的微分方程为 80 tfu dt ud c c 2 2 即 tfup c 1 2 转移算子为 1 1 2 p pH 故得单位冲激响应为 ttth sin 故得 dtfthtftu t c sin dtt t 0 sin6 ttt 0 cos6 tttt cos16 66cos1cos1 tttt tuc的波形如图 2 17 所示 图 2 17 2 11 已知一线性时不变系统对激励 tttf sin 的零状态响应 ty的波形如图 2 18 所示 求该系 统的单位冲激响应 th 并画出其波形 图 2 18 81 知识点窍 系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到 逻辑推理 零状态响应由由冲激响应与激励函数相卷积求得 由此利用卷积的积分与微分性 质求取冲激响应 解 thttthtfty sin thttthtt dt d dt tdy cossin thtttthtt dt d dt tyd sincos 2 2 thttth sin 式 式即得 212 2 2 tttty dt tyd tyth th的波形如图 2 19 c 所示 图 2 19 a b 分别为 dt tdy 2 2 dt tyd 的波形 a b c 图 2 19 2 12 图 2 20 所示系统是由几个子系统组合而成 各子系统的冲激响应分别为 tth 1 积分器 1 2 tth 单位延时器 tth 3 倒相器 求总系统的冲激响应 th 知识点窍 线性系统的性质 逻辑推理 线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积 82 图 2 20 解 thththtthth 3121 ttttt 1 1 tt 2 13 在图 2 21 所示系统中 1 1 tth 3 2 ttth tf 1 tt 求响应 ty 并画出其波形 图 2 21 图 2 22 知识点窍 线性系统的性质 逻辑推理 线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积 解 ththtfthtftftf 1111 111111 ttttttttt 32211 tttttt 3 tt 33 21 ttttthtfty 66332 tttttt ty的波形如图 2 22 所示 2 14 求图 2 23 所示系统的单位冲激响应 th 知识点窍 系统模拟图与微分方程之间变换 83 逻辑推理 由系统模拟图求取系统的微分方程 图 2 23 解 dhtth t thtth 即 tthth 即 tpt