14 最优控制4.ppt

3 2时间最优控制 时间最优控制问题 是可以运用极小值原理求解的一个常见的工程实际问题 如果性能指标是系统由初态状态转移到目标集的运动时间 则使转移时间为最短的控制称为时间最优控制 或称最速控制 一 一类非线性系统的时间最优控制 问题1移动目标集的一类非线性系统的时间最优控制问题为 问题l属于时变系统 积分型性能指标 自由 末端受约束的最优控制问题 根据极小值原理 令哈密顿函数 正则方程为 边界条件和横截条件为 极小值条件为 在最优轨线末端 哈密顿函数应满足 上述条件构成最优解的必要条件 若 则可运用极小值原理确定此时称为正常情况 若 则在约束条件内任取 此时称为奇异情况 正常的时间最优控制 定义1设在区间内 存在时间可数集合使有则时间最优控制是正常的 正常的时间最优控制 奇异的时间最优控制问题 定义2设在区间内 至少存在一个子区间 使得对所有至少有一个函数则时间最优控制问题是奇异的 区间称为奇异区间 Bang Bang控制原理 设是问题1的时间最优控制 是相应的状态向量和协态向量 若问题是正常的 则最优控制为 即 每个控制分量在自己的两个边界值之间来回切换 是一种继电型控制或开关型控制 二 线性定常系统的时间最优控制 设计时间最优控制系统之前 总希望知道问题是否有解 是否有唯一解 问题是正常的还是奇异的 这种对一般规律的认识和了解有助于具体系统的设计 不幸的是 对于任意的非线性系统和任意的目标集 目前还没有解答这些问题的一般结论 但是 对于常见的目标集为状态空间坐标原点的线性定常系统的时间最优控制问题 可以回答上述问题 因为目标集是状态空间的原点 所以下述问题常称为时间最优调节器问题 问题2 设完全可控的线性定常系统使系统从已知状态转移到状态空间原点 并使性能指标最小 定理1 在问题2中 令则当且仅当时 问题2是正常的 定理2 若受控线性定常系统是正常的 且时间最优控制存在 则最优控制必定唯一 上述两个定理适用于一般目标集的情况 定理3 有限切换 开关次数 定理 设线性定常系统是正常的 系统矩阵A的全部特征值均为实数 时间最优控制存在 其分量为 令表示的切换时刻 则在两个边界值之间的切换次数 定理 对于问题2 若系统正常 则最优解的必要条件为 1 正则方程其中哈密顿函数为 2 边界条件 3 极小值条件 4 哈密顿函数应满足 三 双积分模型的时间最优控制 双积分模型 问题3 故系统完全可控 所以系统正常 时间最优控制为Bang Bang控制 A的特征值为 0 0 故控制至多切换一次 由极小值条件得 由协态方程 相平面分析 在上述方程中消去t 这是一簇抛物线 显然 满足末态要求的相轨迹为 相轨迹图 在上述方程中消去t 这是一簇抛物线 显然 满足末态要求的相轨迹为 相轨迹图 1初始状态为 2目标集为 3目标集为 特征值为虚数的情况 已知无阻尼震荡二阶系统的状态方程为其中控制满足约束求最优控制使系统由任意初态转移到原点的时间最短 问题3 第四章二次型性能指标的线性系统最优控制 如果所研究的系统为线性 所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数 则这种动态系统的最优化问题 称为线性二次型问题 4 1线性二次型问题 二次型性能指标的物理含义 1 末值项对系统末态跟踪误差的要求 2 第一过程项对动态跟踪误差加权平方和的积分要求 3 第二过程项对系统加权后的控制能量消耗的总度量 几种重要的特殊情形 1 状态调节器问题 2 输出调节器问题 3 跟踪系统问题 4 2状态调节器 所谓状态调节器问题 就是要求系统的状态保持在平衡状态附近 一 有限时间状态调节器 问题4 1设线性时变系统状态方程为 使下列性能指标极小 1最优解的充分必要条件 定理4 1对于最优调节器问题4 1 最优控制的充分必要条件是最优性能指标为 2黎卡提方程解的若干性质 是唯一的是对称的是非负的 最优解的存在性和唯一性 定理4 2对于最优调节器问题4 1 若有限 则最优控制存在且唯一 例 已知一阶系统状态方程为性能指标试求最优控制及最优指标 二 无限时间状态调节器 有限时间状态调节器只考察系统由任意初态恢复到平衡状态的行为 且性能指标只能在恢复过程中的状态偏差 控制能量大小及终端误差之间取得一个合理折衷 然而 实际工程问题的要求是 除保证有限时间内系统对非零初态的响应具有最优性外 还要求系统具有保持平衡状态的能力 这种既有最优性要求 又有稳定性要求的问题只能用无限时间调节器理论去解决 1无限时间时变状态调节器 问题4 2设线性时变系统状态方程为性能指标要求确定最优控制使性能指标极小 定理4 3 对于无限时间时变状态调节器问题4 2 若阵对 A t B t 则完全可控 则存在唯一的最优控制最优性能指标为 关于定理4 3 有如下几点注记 定理4 3对系统提出的完全可控性要求 是为了保证最优解的存在 2 对于无限时间状态调节器 通常在性能指标中不考虑终点指标 取权阵F 0 3 对于无限时间时变状态调节器 由于黎卡提方程在边界条件下的稳态解仍然为时变矩阵 因而最优控制律是时变的 不便于工程应用 2无限时间定常状态调节器 问题4 3设线性定常系统状态方程性能指标要求确定最优控制使性能指标极小 定理4 4 对于系统 4 2 30 和性能指标 4 2 31 若对于任意矩阵D 有且P是如下黎卡提矩阵代数方程的解 则阵对 A DT 完全可观测的充分必要条件是P为对称正定矩阵 定理4 5 对于无限时间定常状态调节器问题4 3 若阵对完全可控 阵对完全可观 其中 且D任意 则存在唯一的最优控制最优性能指标为P是黎卡提矩阵代数方程的唯一解 3最优调节系统的渐近稳定性 按定常调节器问题进行综合 可得最优调节系统 其闭环系统方程为由于稳定是系统能够正常运行的首要条件 因此需要研究最优调节系统渐近稳定的必要条件 定理4 6 设线性定常系统性能指标若阵对完全可控 阵对完全可观 其中 而D任意 则闭环系统为渐近稳定的最优调节系统 例 设系统状态方程性能指标试求最优控制和最优指标 4 3输出调节器 一个工程实际系统 当工作于调节器状态时 总是希望系统一旦受扰偏离原平衡状态 系统的输出能量能最优地恢复到原平衡状态 这样的问题称为最优输出调节器问题 如果系统工作于跟踪器状态 则要求在希望输出信号的作用下 系统的实际输出能最优地跟随希望输出的变化 这样的问题称为最优跟踪系统问题 一 有限时间输出调节器 问题4 4设线性时变系统动态方程要求确定最优控制 使下列性能指标极小 定理4 7 对于有限时间输出调节器问题4 4 若阵对 A t C t 在时刻完全可观测 则存在唯一的最优控制最优性能指标为 最优轨线满足下列线性微分方程其中P是对称非负矩阵 是黎卡提矩阵微分方程在边界条件 的唯一解 有限时间最优输出调节器的结构图 构成最优控制系统 需要全部状态信息 二 无限时间输出调节器 问题4 5设线性定常系统动态方程要求确定最优控制 使下列性能指标极小 定理4 8 对于无限时