【命题探究】高考数学知识点讲座 考点44 相关关系、回归分析与独立性检验（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点44相关关系、回归分析与独立性检验（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标利用散点图判断变量之间是否存在相关关系；求回归直线方程和利用回归直线作出估计；独立性检验.二.知识梳理1两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归方程(1)最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回归方程方程 x 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数，,3残差分析(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，它们的随机误差为eiyibxia，i1,2，n，其估计值为 iyi iyi xi ，i1,2，n. i称为相应于点(xi，yi)的残差(2)相关指数r21r2越大，意味着残差平方和 越小 ，即模型的拟合效果越好r2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 在线性回归模型中，r2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，r2越接近于1，表示回归的效果越好 4独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这类变量称为分类变量(2)列联表：列出两个分类变量的 频数表 ，称为列联表假设有两个分类变量x和y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为22列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcdk2(其中nabcd为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“x与y的关系”三考点逐个突破1.散点图与相关关系的判断例1. 在一组样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()a1 b0 c. d1答案d解析样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线yx1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系2.利用回归直线方程对总体进行估计例2.(1) 某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值计算，得i52，i228，478，iyi1849，则其回归直线方程为()a.11.472.62x b.11.472.62xc.2.6211.47x d.11.472.62x答案a解析由i52，i228知，6.5，28.5，2.62，28.52.626.511.47.(2)在某医学实验中，某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只验动物进行血检，得到如下资料：动物编号123456用药量x(单位)134568抗体指标y(单位)3.43.73.84.04.24.3记s为抗体指标标准差，若抗体指标落在(s，s)内，则称该动物为有效动物，否则称为无效动物研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验(1)求选取的两只动物都是有效动物的概率；(2)若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出y关于x的线性回归方程为0.17xa，试求出a的值；(3)若根据回归方程估计出的1号和6号动物抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差，则认为得到的线性回归方程是可靠的试判断(2)中所得线性回归方程是否可靠参考公式：样本数据x1，x2，xn的标准差：s，其中为样本平均数解析(1)3.9，s0.31.故1、6号为无效动物，2、3、4、5号为有效动物记从六只动物中选取两只为事件a.所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种满足题意的有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共6种故p(a).(2)对于2、3、4、5号动物，4.5，3.925，代入0.17xa得a3.16.(3)由0.17x3.16得13.33，64.52.误差e10.07，e60.22，均比标准差s0.31小，故(2)中回归方程可靠3.独立性检验例3. (1)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()若k2的观测值满足k26.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误a b c d答案c解析推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除a，b，正确排除d，选c.(2)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由k2算得，k27.8.附表：p(k2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()a有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”b有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”c在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”d在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”答案a解析根据独立性检验的定义，由k27.86.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”(3)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由附：k2.解析(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为14%.(2)k29.967.由于9.9676.635，所以有99%的把