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文档简介
第2课时 函数单调性和奇偶性的应用61.深刻理解函数的奇偶性、单调性的概念.2.会根据函数的奇偶性判断函数在对称区间上的单调性.3.会利用函数的奇偶性求函数的解析式.4.通过抽象函数奇偶性、单调性的应用,培养我们观察、归纳、抽象的能力.(1)若函数f(x)是奇函数,且f(x)在区间 &a,b 上是单调函数,则f(x)在其对称区间 上也是单调的,且单调性 .(2)若函数f(x)是偶函数,且f(x)在区间 &a,b 上是单调函数,则f(x)在其对称区间 上也是单调的,且单调性 .1.设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式fx-f-xx0时,f(x)=1,试求函数y=f(x)的表达式.一、奇、偶函数在对称区间上的单调性提出问题:1.已知函数y=f(x)在r上是奇函数,而且在(0,+)上是增函数,那么y=f(x)在它的对称区间 (-,0)上的单调性如何?结论:提出问题:2.如何用函数单调性的定义证明上面的结论?结论:提出问题:3.已知函数y=f(x)在r上是偶函数,而且在(0,+)上是减函数.判断y=f(x)在它的对称区间 (-,0)上是增函数还是减函数?结论:提出问题:4.如何用函数单调性的定义证明上面的结论?结论:例1设f(x)在r上是偶函数,在区间(-,0)上单调递增,且有f2a2+a+10时,fx=x2+x+1,求函数的解析式.提出问题:1.x0时的表达式有什么联系?结论:提出问题:2.利用奇函数的定义和(0,+)上的表达式,如何去确定对称区间(-,0)上的表达式?结论:提出问题:3.定义域为r,除了x0外,x还有何取值?如何确定f(x)在此取值时的表达式?结论:提出问题:4.根据以上问题,你能给出本题的规范解答吗?结论:反馈练习1 已知f(x)是偶函数,且当x0时,f(x)=x|x-2|,求x0时,f(x)的表达式.三、判断抽象函数的奇偶性例3已知函数f(x),xr,若对于任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:函数f(x)为奇函数.提出问题:1.证明一个函数是奇函数,需要哪些条件?结论:提出问题:2.我们知道,奇函数的定义域包含0,故本题中必有f(0)=0,如何由对于任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)得到这一结果?结论:提出问题:3.判断抽象函数奇偶性的关键是赋值,证明奇函数的关键是得出f(-x)=-f(x)的关系,本题中如何对a,b赋值?结论:提出问题:4.依据上述问题,请写出本题的证明过程.结论:反馈练习1 已知函数f(x),xr,若对于任意的实数x1,x2,都有fx1+x2+fx1-x2=2fx1fx2,求证:函数f(x)为偶函数. 1.如果奇函数f(x)在区间-5,-3上是增函数,且最大值是-4,那么f(x)在x3,5上是( )a.增函数且最大值是4b.增函数且最小值是4c.减函数且最大值是4d.减函数且最小值是42.设f(x)是定义在r上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,则f(-2)与fa2-2a+3(ar)的大小关系是( )a.f-2fa2-2a+3b.f-2fa2-2a+3c.f-2fa2-2a+
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