双曲线的几何性质 韦明.doc

课题：双曲线的几何性质教学目标1了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等；2能根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、离心率等问题；3能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程；4掌握之间的关系及相应的几何意义教学重点双曲线的几何性质及初步运用教学难点双曲线的渐近线方程的导出和论证教学过程复备栏一、问题情境1情境：在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质2问题：双曲线有哪些性质？二、学生活动小组讨论，引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格。三、建构数学1范围由双曲线方程，可得，即或这表明双曲线在不等式与所表示的平面区域内思考：你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？由双曲线方程可知，即，从而或所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线和为边界的平面区域内2对称性在双曲线的标准方程中，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的所以坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心3顶点双曲线与轴的两个交点，称为双曲线的顶点记则线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长4渐近线我们已经知道，双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么，从的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系？根据对称性，可以研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系如图，设为双曲线在第一象限的点，作轴，垂足为直线交直线于点当向右移动时，观察长度的变化我们发现，随着的增大，长度越来越接近于事实上，对于相同的横坐标，直线上对应的点的纵坐标为，所以长为=，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，趋向于这说明，随着的增大，双曲线在第一象限内的点在直线的下方且逐渐接近于这条直线同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线的上方且逐渐接近于这条直线根据对称性，直线也有相同的性质我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线说明：（1）利用直线和所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而可以画出双曲线的草图（2）当双曲线的实轴长和虚轴长相等时，两条渐近线互相垂直，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线5离心率：实轴长与焦距的比叫做双曲线的离心率，记为由可得四、数学运用例1求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程 解 由题意知，所以，解得因此，双曲线的实轴长，虚轴长焦点坐标为，顶点坐标为，离心率渐近线方程为例2已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，求双曲线的方程 解 根据题意知，解得则因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，所以所求双曲线方程为例3如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，且，求该双曲线的方程ABF解 因为，所以因为，所以，所求双曲线方程为五、课堂作业1已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程2求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；六、回顾小结1根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线和离心率等问题；2根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程3之间的关系及相应的几何意义七、布置作业P41 习题2.3 第1题(1),(2) 第2题(1),(3) 第3题 课后反思：掌握之间的关系及相应的几何意义，大多学生掌握不熟练，应强化。引导学生类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质 让学生回答，教师引导、启发、订正并板书引导学生运用函数观点和方程的思想，对双曲线的范围作出更精细的限制，从而