可凸化函数的性质.doc

可凸化函数性质的研究表征导数为零的点摘要：本文研究了光滑函数的几个变量与Lipschitz导数。它表明，这些函数有 “包络性”的功能：一个圆导数为零的点，只有在这样的点，函数是一个二次抛物面的包络。证明包络性质，是说每个光滑函数具有Lipschitz导数，当考虑一个紧凸集时，其区别在于凸函数与凸二次函数。在此表明，具有类似结果的是凹函数。还有关于函数导数为零点性态的研究。最优性条件局部极值，是在基于包络特性的条件下给出的。该性质将用于在更多限制条件但不求导的假设下，在把费马定理与拉格朗日定理相比较并用新的形式写出费尔马极值定理和拉格朗日定理。关键词：导数为零的点；fermats极值定理；拉格朗日定理；凸二次函数；凸函数。Abstract ：We study smooth functions in several variables with a Lipschitz derivative.It is shown that these functions have the“envelope property”:A round zero-derivative points,and only around such points,the functions are envelopes of aquadratic parabolloid. The proof of the envelope property ,which says that every smooth function with a Lipschitz derivative, when considered ona compactconvex set,is the difference of a convex function and a convex quadratic function. It is shown that an The property is used to reformulate Fermats extreme value theorem and the theorem of Lagrange under slightly more restrictive assumptions but without the derivatives.Keywords ：Zero-derivative point;Fermats extreme value theorem;Theorem of Lagrange;convex quadratic function;convex function.1 引言具有导数为零性质的点在数学的许多领域都很重要特别是，一个典型的结果在单变量微积分中当达到局部极值时的可微函数只有在零导数的点可以实现。例如,这一结果4通常称为费尔马极值定理，及它延伸到多元函数和超元函数，例如在文献3中。本文围绕导数为零的点，只有在这些点，光滑函数与Lipschitz导数具有二次抛物面包络的性质。在理论上，一个可以使用这个“包络”来确定在没有计算导数和检查它的根下是否导数是零。性质也表明计算光滑点导数为零的收敛方法，一般非凸，具有Lipschitz 导数性质的函数有二次弱收敛性。证明包络性质使用的结果来自文献5，是说每个光滑函数具有Lipschitz导数，当考虑一个紧凸集时，其区别在于凸函数与凸二次函数。在第二段表明，具有类似结果的是凹函数。关于函数导数为零点性态的研究在第三段。最优性条件局部极值，是基于包络特性，在第四段给出。在那里把费马定理与拉格朗日定理相比较。在在第五段提出全局优化下可能修改的基带算法1，并使用第二段的凸函数。2 光滑函数的研究我们使用的术语和符号来自文献5。考虑一个光滑的多变量函数f: R R，例如：不断连续或Frchet可微。假设关于存在导数，且代表的行梯度，则对在紧凸集具有Lipschitz性质。这意味着存在一个常数，称为导函数Lipschitz常数，即： 在这里表示的转置和向量范数选择的是Euclidean。请注意，这里的取决于K 。 定义1 ： 考虑一个连续函数：在紧凸集的开放领域。如果存在一个数，满足：其中函数是上的凸函数，而函数是上的凸二次函数。则我们称函数是可凸化的，是凸化因子，且是在上的可凸化函数。如果存在一个数，满足：其中函数是上的凹函数，而函数是上的凹二次函数。则我们称函数是可凹化的，是凹化因子，且是在上的可凹化函数。一个连续函数要么可以凸化要么可以凹化。例1： 一个标量函数是可以凹化的（作为一个凹函数），但它不可以在区间上凸化。光滑函数的导数既可能具有又可能不具有的Lipschitz性质。如果函数光滑并且可导，则它具有Lipschitz性质且函数既可以凸化又可以凹化定理1： （分解具有Lipschitz导数的光滑函数）考虑一个光滑函数：在紧凸集的开放领域。如果函数可导且在上具有Lipschitz性质，则函数在上既可以凸化又可以凹化。假设是函数在上的Lipschitz常量，则是一个凸化因子，是一个凹化因子。证明：可凸化部分的证明在5中。为了证明可凹化部分，取，。利用内积的符号和cauchy-schwartz不等式，有：利用Lipschitz性质，有：也就是：因此，对有：和同理可得：函数的导数是所以，当时，不等式也成立。所以定理对都成立。这也意味着函数是凹函数，即是在上的可凹化函数。 3表征导数为零的点 定义2：考虑一个光滑函数：在具有内点的紧凸集上。如果有个常数且满足，对，我们称在紧凸集的内点上具有包络性。 例2： 考虑区间上的在具有包络性的函数。事实上，对任意的常数，在上有。本文得出的主要结论是具有Lipschitz导数的光滑函数，包络性等价于导数为零的性质。定理2： （刻划导数为零的点）考虑一个光滑函数：在具有内点的紧凸集上。假设函数的导函数的有在上的Lipschitz导数常量，则函数在任意的内点上具有包络性当且仅当时，此时。证明：首先我们知道表明了包络性。因为函数是可凸化的，所以它可以分解为：其中是关于的凸函数而是在上的凸因子。由函数的凸性，可以得出：对于任意的和。经过代换可得： 应用性质得：当时有：当时有：类似的，根据函数在上是具有Lipschitz导数的光滑函数，已知， 其中对于任意的是凹函数，则可得，。特别的，令，其中是关于导数的Lipschitz常量，利用定理1得：经过计算可得，而且可得出函数在点具有包络性。我们再来看下，在内点的包络性即。首先，对，分开考虑和 使用零排的0和变量替换，这样得出。故而，当时，通过连续性的性质得。 包络性的几何解释为：用来描述函数和函数间的距离。的图像是一个顶点在的二次抛物面。定理2说明了，在导数为零的点左右并且只有这些点，使得函数当足够大时关于具有包络性。特别的当时，其中函数的导数在凸紧集上的Lipschitz常量。利用MATLAB软件将其性质的本质描绘在图1中，曲线表现出的是例3中的情况。例3：考虑区间上的在的函数，在此有和。分别考虑，向下移动到具有的包络性的。由等价性可知，是的包络。图1 包络性图2 包络在导数为零的点图3 违反包络性的点是导数不为零的点我们所说的“包络性”作为“包络准则”时，它是用于识别的导数为零的点和局部极值。例4： 考虑函数，是否在=0点存在，取和。有和。在图2中给出了和的图像。我们得出这样的结论：满足包络准则的成因是一个导数为零的点（而不是局部极值）。例5： 由于在满足包络准则但在点不满足。违反准则显示在图3中。假设一个可以通过找到序列收敛，的方法计算关于求导零点的光滑函数，然后取一些满足任意的，其中，是一些包含内点的凸紧集。如果函数的导数在上具有Lipschitz性质，则定理2指出，弱收敛速度是二次的。例6： 考虑函数关于导数为零的点，当，时具有二次收敛率。事实上，对任意的。4 局部极值的包络准则费马极值定理说的在一个局部极值的一个关于的可微函数。我们也称它为标量函数。定理3 （费马定理，4，p.177.）如果函数有一个局部极值（即，最高或最低）在点并且存在，则有成立。在不求导数但对局部极值进行更多必须限制的情况下，可以对此结果进行改进。定理4（包络准则局部极值）考虑一个在上的光滑函数，假设函数的导数具有Lipschitz性质。如果函数有一个局部极值点且，则对任意的和有：。例7： 考虑函数，在包络准则是，对任意的和。在，当时有。因此，当时是极值点，当时不是极值点。包络准则有广泛的应用，特别是，二次可微函数。通常这里不需要一个指定的实际数值。该定理任何足够大都成立，例如，其中函数的导数在凸紧集上的Lipschitz常量。然而函数的Lipschitz导数的假设是不可以省略的，如下例所示。 例8： 函数是光滑的但是它在区间上不具有的函数的Lipschitz性质。在点，当时我们有尽管。包络性质可以被用于改进其它关于导数为零点的结论，比如罗尔定理和平均值定理。可以使上面的结果在更多限制条件下成立。特别是，考虑优化功能的点的集合的问题，表明确定一个系统方程m的变量n：，直到， （1）包络准则可以应用于拉格朗日函数，含有m+1元非零组（如果所需的条件都满足，则特别的可以使）。在局部受限的极值点，根据拉格朗日定理有。更进一步的由定理2可以得出下面的一种情况：定理5 （包络准则对局部极值的约束）假定（1）式中的一个局部极值变量，同时也是一些具有Lipschitz导数性质的光滑函数，在任意凸紧集上的内点，则存在非零元组 即：对任意的和有：如果在等式中用“=0”取代“0”，然后就可以把一个非零和分量形式的非负引入定理5。这会产生一个模拟的弗里茨约翰条件。如果函数是凸的，对定理5略加修改，再有个附属的互补性条件，产生一个模拟的karush库恩塔克条件。这是在数学规划最优化方面一个可能的进一步研究的方向。5 基带算法的注解该基带算法是众所周知的求解非凸二次连续可微函数的程序，例如1。在构建凸函数的估计量算法下使用凸化量。 这里是函数在给定的下Hessian矩阵特征值。这样的凸化量被认为是对函数非凸性的一种测量，它是计算特定的“间隔”“确定一个分支定界的方法。的计算方法采用“间隔”海森矩阵在 2 中给出。在我们对包络性质的研究中，我们使用了一个可凸化变量和一个可凹化的，其中是函数的导数在凸紧集上的Lipschitz常量。关系式+=0使对绝对量性质的改进成为可能。不像，可凸化量仅是第一阶的信息。这两个量间的联系是。在基带算法中对于是否可以用取代将是一个重要的研究课题。这可能导致更简单和更广泛的适用性。相对于二次连续可微函数的程序，可以采用改良算法程序的一次连续可微函数与Lipschitz导数。无论选择凸变量还是凸化的目的是保留其弱二阶收敛速率。参考文献：1. Androulakis, I.P., Maranas, C.D., Floudas, C.A.: BB: A global optimization method for general constrained nonconvex problems. J. Glob.Optim. 7,337363(1995)2. Adjiman, C.S., Floudas, C.A.: Rigorous convex underestimators for general twice-differentiable problems. J. Glob.Optim. 9,2340(1996)3.Apostol,T.M.:Calculus,vol.II:Calculus of Several Variables with A