估计法在解数学竞赛题中的应用.pdf

6 计 讯 泫 志 翔 中 等数 学 6 3 l ci 估计法在解数学竞赛题中的应用 薛 党 鹏 陕西省西安中学 7 1 0 3 本 讲适合 高 中 所谓估计法 就是先对数学问题 的待求 目标进行初步的估计和猜 测 然后再根据题 意进一步缩小范 围 进而求出待求 目标的数 学思想方法 估计思想作为学习和研 究数学 的一种重要思想 在数学竞赛 中有着广泛的 应用 1特 例 估 计 特例估计是特殊化思想的具体应用 是 指在分析问题时 先从特殊情况进行量 的估 计或性质的猜想 判断 然后再进行一般化 的 推广与论证 倒 1 函数 F z 2 s i n C O S z s i n 2 z Ax B l 在 o z 上的最大值 M 与参数 A B有 关 问 A B取什么值时 M 为最小 证明你 的结论 1 9 8 3 全国高 中数学联赛 分析 先通过特殊化估计可能的结论 令 A 0 B 0 此 时 F z 成为 z s l n 2 x 1 在 o 擎 内 有 三 点 詈 警 使 取 得最大值 由此估计 M 的最小值就是厄 为此 只要证 明 对任何 不 同时为 0的 A B 当 o 时 都有 M n l a xF x 1T I a Xf z 2 孚 z 孥 本文收稿 日期 1 9 9 9 1 0 1 4 这 可 由反证法 论证 与6 6 2 I 似 坟 仔 在 小 l司 时 为 0的 A B 便 得M 成立 F 晋 F 普 F 警 f l 专 A B l 1 l 一 B l cz l B 3 由 1 和 2 n I A O 由 2 和 3 可推得 A O 所以 A 0 但当 A 0时 B O M r n s x F z 0 z J s in 2 z 号 B Jo x Bl 这与假设矛盾 命题得证 2近 似 估 计 在解决涉及 高次或根式 的不定方程时 常可通过近似计算来进行量的限定估计 例 2 有一堆货物有规则地堆放着 各 层都摆成矩形 且底层两边各放 3 O件和 1 5 件 以上逐层每边各递减一件 到最上层则摆 成一条直线 若 这堆货物按 照上述堆放 方法 改堆成正四棱锥 形 当然不一定正好堆叠到 顶点 那么底层每边至少要摆几件 1 9 9 7 福建省数学竞赛 解 这堆货物的总件数为 维普资讯 2 O O O年第 3期 7 3 0 1 5 2 9 1 4 2 8 1 3 1 6 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 4 1 4 t 1 5 1 l 1 5 1 5 1 4 1 1 5 1 4 l 3 0 4 0 设改换堆法后底层每边至少堆 x件 货 物 则应有 f x x一1 1 3 0 4 0 z 1 1z一2 1 3 0 4 0 即要解不等式组 l X X 1 2 X 1 1 8 2 4 0 1 I 1z一1 X 2 X一1 1 8 2 4 0 2 上述两不等式左边近似为 2 x 由 2 x 1 8 2 4 0 有 x 2 1 以 x 2 1 代人 则两式 均满 足 当 x 2 0 时 1 左边为 1 7 2 2 0 放不满 足 当 x 2 2时 2 左边 为 1 9 8 6 6 亦 不 满 足 综上可知 x 2 1 为所求 即底层每边至 少要摆 2 1 件货物 例 3 某地现有耕地 1 0 0 0 0公顷 规划 1 0年后粮食单产比现在增加 2 2 人均粮食 占有量比现在提高 1 0 若人 口年增长率为 1 试求耕 地平均每年至多 减少 的公 顷整 数 解 设耕地平均每 年至多减少 z公顷 又设 该 地 区 现 有 人 口 P人 粮 食 单 产 为 M 吨 公顷 则 M 1 2 2 1 0 一1 0 x P 1 1 H 1 0 化简得 1 0 j 1 一 1 0 1一 1 l 0 0 l D 0 0 1 1 0 1 一 l 1 0 4 5 3 4 1 所以 耕地平均每年至多减少 的公顷整 数为 4 3试 验 估 计 所谓试验估计 就是通过作图 排列等实 际操作的试验方法来进行量的估计与判断 例 4设 D 为 AB C 的 边 AB 上 的 一 点 D 点沿平行 于 B C 的方向移动到 AC边 上的E点 再由 E点沿着平行于AB的方向 移动到 B C边上的F点 再 由 F点沿着平行 于C A 的方向移 动到 AB边上的 G点 这样每沿着某边平行移动到另一边算一次 那么 最多 次D 点可以第一次回到原出发 点 问 的值等于多少 分析 我们可以通过作 图试验 估计 6次 D 点可 以 回到原出发 点 图 1 辈 一 图所 示 由 平 行 线 截 割 定 理 得 AD AE BD EC BF BG FC AG B F K C 罔 l C H CK AM 一丽一丽一面 再 由合 比定理得 A D BD AM B M BD BM 即面AB 所 以可知 D 点 与M 点重合 故 6 当然 若取任意一边 中点为出发点 显然只需 经过 3次 即可第一次回到原出发点 4范 围 估 计 范围估计是指对题 目中的某个量 从其 上界或下界进行估计 以确定其 一个合适 的 维普资讯 8 中 等 数 学 范围 再作推理或计算 在此过程 中 对不等 式的变换 能力 要求较 高 倒 5 试求 出所 有的正整 数 a 6 c 其 中 1 口 6 c 使得 a一1 6 1 c 1 是 a b e 一1的约数 第 3 3 届 I MO 分析 首先试估计 s 可鲁 s N i 1 了 的范围 为此令 z a一1 Y 6 1 c 一 1 则 l l 又 2 1 1 2 1 兰 2 1 1 专 1 1 1 1 了 1 4 1 s 4 即 s 2或 s 3 1 若 s 2 则 L 一十 1 1 Y xy 解 得 z Y 2 4 1 4 2 若 s 3 则 2 z Y xy 解 得 Y z 1 3 7 综上可知 满足题意的正整数解为 3 5 l 5 与 2 4 8 倒 6 设 方程 口 一 1 一 口 0的系数都是实数 且适合条件 0 0 f 9 9 9 9 3 3 3 3 求 1 9 8 2 解 令 m 1 则 f 2 2 1 0或 1 因 f 2 O f 1 是非负整 数 故 f 1 0 令 m 2 l 则 f 3 f 2 f 1 0或 1 由 f 3 O 2 0 f 1 0得 3 1 下边我们先证 对于 则 f 3 k 1 下转第 1 9页 维普资讯 2 0 0 0年第 3期 1 9 2 o 0 s k C f kc o s 一 一 o s 2 o o s 十 l o 0 s o o s 一 十l cf o o s 2 一 2 一1 2 n 1 一 1 2 2 苎 二 2 2n 1 o os 以 上 诸 式 相 加 并 应 用 1 得 2 k 1 CO S 百 1 j z oos oos 总之 通过数学课外活动的方式 充分发 挥数学 习题 的情感功能 必将对提高数 学素 质起 到不可估 量 的作 用 土接 第 8页 f 9 9 9 9 f 9 9 9 9 3 k f 3 k 3 3 3 3 k 矗 1 3 3 3 3 这与题设矛盾 所 以 f 3 k k 于是 1 9 8 2 f 3 1 9 8 2 3 1 9 8 2 11 11 r 1 9 8 2 2 问 A 3 C为何种三角形 提 示 特 例估计可知 若 a b n 2 则 A 3 C 为 锐 角 三 角 形 只 须 证 n b c 即 b c 臼 a b c 一c 0 n 矿 c 一n b a 2 c 一a n b c 矿 0 2 已知 a l 1 n 2 2 5 a 一3 n 当 a n a 为偶散时 幢一i 一 当n 为 奇散时 试 证 对 一切 n N a 0 提 示 计算 出该散列 的前六七项 则不难估计 a 2 1 roo d 3 n 2 2 roo d 3 可以证 明上述估 计正确 3 货轮上 卸下若干 只箱 子 其 总重量为 1 O吨 每只箱子的重量不超 过 1吨 为 了保证 能将 这些箱 子一次运走 问至少需要多少辆载重 3吨的汽车 提 示 范围估计 可知 n 5 但 4不合 题意 从而 n 5 4 已知 a 6 c是满 足 1 a 6 z 志 丽 1 2 一1 2 一1 1 1 9 9 8 6是 否存 在 自