【备战】高考数学 高频考点归类分析 关于线线、线面及面面垂直的问题（真题为例）.doc

关于线线、线面及面面垂直的问题典型例题： 例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】 a存在某个位置，使得直线与直线垂直 b存在某个位置，使得直线与直线垂直 c存在某个位置，使得直线与直线垂直 d对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直【答案】b。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系。【解析】 如图，依题意，=，。 a，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，平面，从而，这与已知矛盾，排除a；b，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，平面平面。取中点，连接，则，就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故b正确；c，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除c；d，由上所述，可排除d。故选 b。例2. （2012年全国课标卷文12分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb=90，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点()证明：平面bdc1平面bdc（）平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。【答案】解：()证明：由题设，三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb=90，bccc1，bcac，cc1ac=c，bc平面acc1a1。 又dc1平面acc1a1，dc1bc。 由题设，ac=bc，=aa1，d是棱aa1的中点，a1dc1=adc=450，cdc=900，即dc1dc。又dcbc=c，dc1平面bdc。又dc1平面bdc1，平面bdc1平面bdc。（）设棱锥bdacc1的体积为v1，则。 又三棱柱abca1b1c1的体积， 。 平面bdc1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。【考点】直三棱柱的性质，平面和平面的位置关系，棱柱和棱锥的体积。【解析】()要证明平面bdc1平面bdc，只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可。由由题设可证得dc1bc，dc1dc，由dcbc=c得dc1平面bdc，而dc1平面bdc1，因此平面bdc1平面bdc。 （）求出三棱柱abca1b1c1的体积和棱锥bdacc1的体积即可求得结果。例3. （2012年北京市理14分）如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图2.（1）求证：a1c平面bcde；（2）若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；（3）线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由【答案】解：（1）cdde，a1ede，de平面a1cd。又a1c平面a1cd ，a1cde。又a1ccd，a1c平面bcde。（2）如图建立空间直角坐标系，则b（0，3，0），c（0，0，0），d（2，0，0），e（2。2。0），a1（0，0，）。设平面a1be法向量为，则，即，。又m是a1d的中点，m（1，0，）。设cm与平面a1be法向量所成角为，则。cm与平面a1be所成角为。（3）设线段bc上点p，设p点坐标为，则。则设平面a1dp法向量为则 。假设平面a1dp与平面a1be垂直，则，即，解得。与不符。线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直。【考点】线面垂直的判定，线面角的计算，两平面垂直的条件。【解析】（1）根据线面垂直的判定进行判定。 （2）建立空间直角坐标系可易解决。 （3）用反证法，假设平面a1dp与平面a1be垂直，得出与已知相矛盾的结论即可。例4. （2012年北京市文14分）如图1，在rtabc中，c=90，d，e分别为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图2。（1） 求证：de平面a1cb；（2） 求证：a1fbe；（3） 线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？说明理由。【答案】解：（1）证明：在图1 rtabc中，c=90，d，e分别为ac，ab的中点， debc。 在图2中，de平面a1cb，de平面a1cb。 （2）证明：dea1d，decd，a1dcd=d，de平面a1cd。a1f平面a1cb，dea1f。 又a1fcd，cdde=d，cd平面bedc，de平面bedc，a1f平面bedc。 又be平面bedc，a1fbe， （3）线段a1b上存在点q，使a1c平面deq，点q为a1b的中点。理由如下： 取a1c中点p，连接dp，qp。 pdcb，decb ，pdde。 deqp是平行四边形，d、e、q、p四点共面。 由（2）知，de平面a1cd，又a1c平面a1cd，dea1c。 p，q是a1b和a1c的中点，pqcbde。pq a1c。又ad=cd，a1p=cp，pda1c 。又pqpd=p， a1c平面pqd，即a1c平面deq。【考点】线面平行，线线垂直，线面垂直的判定，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质。【解析】（1）由线面平行的判定理直接证出。 （2）要证两异面直线垂直，就要证一条直线垂直于另一条直线所在的平面。因此考虑证明a1f平面bedc即可。 （3）在线段a1b上找出使a1c平面deq的点q，进行证明。例5. （2012年安徽省文12分） 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（）证明： ；（）如果=2,=, , 求 的长。【答案】解；（i）连接。，共面。长方体中，底面是正方形，。面。（）连接。在矩形中，。 。，解得。【考点】两直线的位置，相似三角形的判定和性质。【解析】（i）要证，只要面即可。一方面，由正方形的性质有，另一方面由长方体的性质有，且和是相交的，从而面。 （）由，根据角的转换可知，从而根据相似三角形的性质可由对应边比求出 的长。例6. （2012年江西省文12分）如图，在梯形abcd中，abcd，e，f是线段ab上的两点，且deab，cfab，ab=12，ad=5，bc=4，de=4.现将ade，cfb分别沿de，cf折起，使a，b两点重合与点g，得到多面体cdefg.（1）求证：平面deg平面cfg；（2）求多面体cdefg的体积。【答案】解：（1）证明：在平面图中，abcd，deef，cfef，四边形cdef为矩形。deab，ad=5，de=4，bc=4，ae=3，bf=4。ab=12，ef=5。将ade，cfb分别沿de，cf折起，使a，b两点重合与点g，得到多面体cdefg，ge=ae=3，gf=bf=4。在efg中，有，eggf。又cfef，cffg，effg=f，cf平面efg。又eg平面efg，cfeg。eg平面cfg，即平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，过点g作ghef于h，则。平面cdef平面efg，gh平面cdef，.。【考点】平面与平面垂直的判定，棱锥的体积。【解析】（1）判断四边形cdef为矩形，然后证明eggf，推出cfeg，然后证明平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，过点g作ghef于h，求出gh，说明gh平面cdef，利用求出体积。例7. （2012年湖北省文12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台a1b1c1d1abcd，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱abcda2b2c2d2.（）证明：直线b1d1平面acc2a2；（）现需要对该零部件表面进行防腐处理已知ab10，a1b120，aa230，aa113(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？【答案】解：（）四棱柱abcda2b2c2d2的侧面是全等的矩形，aa2ab，aa2ad。又abada，aa2平面abcd。连接bd，bd平面abcd，aa2bd。底面abcd是正方形，acbd。根据棱台的定义可知，bd与b1d1共面，又已知平面abcd平面a1b1c1d1，且平面bb1d1d平面abcdbd，平面bb1d1d平面a1b1c1d1b1d1，b1d1bd。由aa2bd，acbd，b1d1bd，可得aa2b1d1，acb1d1。又aa2aca，b1d1平面acc2a2。（）四棱柱abcda2b2c2d2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，s1s四棱柱上底面s四棱柱侧面(a2b2)24abaa2102410301 300(cm2)。又四棱台a1b1c1d1abcd的上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，s2s四棱台下底面s四棱台侧面(a1b1)24(aba1b1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)该实心零部件的表面积为ss1s21 3001 1202 420(cm2)。所需加工处理费为0.2s0.22 420484(元)。【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱台的侧面积和表面积。【解析】（）依题意易证acb1d1，aa2b1d1，由线面垂直的判定定理可证直线b1d1平面acc2a2。（）需计算上面四棱柱abcd-a2b2c2d2的表面积（除去下底面的面积）s1，四棱台a1b1c1d1-abcd的表面积（除去下底面的面积）s2即可。例8. （2012年福建省文12分） 如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m为棱dd1上的一点（i）求三棱锥amcc1的体积；（ii）当a1mmc取得最小值时，求证：b1m平面mac. 【答案】解：（i）由长方体abcda1b1c1d1知，ad平面cdd1c1，点a到平面cdd1c1的距离等于ad1。又=21=1， 。（ii）将侧面cdd1c1绕dd1逆时针转90展开，与侧面add1a1共面(如图)，当a1，m，c共线时，a1mmc取得最小值。由adcd1，aa12，得m为dd1中点连接c1m，在c1mc中，mc1，mc，cc12，ccmcmc2，得cmc190，即cmmc1。又由长方体abcda1b1c1d1知，b1c1平面cdd1c1，b1c1cm。又b1c1c1mc1，cm平面b1c1m，得cmb1m。同理可证，b1mam。又ammcm，b1m平面mac。【考点】棱锥的体积，直线与直线、直线与平面的位置关系。【解析】（i）由题意可知，a到平面cdd1c1的距离等于ad=1，易求=1，从而可求。（ii）侧面cdd1c1绕dd1逆时针转90展开，与侧面add1a1共面，当a1，m，c共线时，a1mmc取得最小值易证cm平面b1c1m，从而cmb1m，同理可证，b1mam，问题得到解决。例13. （2012年陕西省文12分）直三棱柱abc- a1b1c1中，ab=a a1 ， （）证明; （）已知ab=2，bc=，求三棱锥的体积 【答案】解：（i）连接ab1，abc-a1b1c1是直三棱柱，平面abc平面abb1a1。又平面abc平面abb1a1=ab，acab，ac平面abb1a1。ba1平面abb1a1，acba1。矩形abb1a1中，ab=aa1，四边形abb1a1是正方形。ab1ba1。又ab1、ca是平面acb1内的相交直线，ba1平面acb1。cb1平面acb1，cb1ba1。（ii）ab=2，bc=rtabc中，。直三棱柱abc-a1b1c1中，a1c1=ac=1。又aca1c1，ac平面abb1a1，a1c1是三棱锥c1-aba1的高。aba1的面积等于正方形abb1a1面积的一半，saba1=ab2=2。三棱锥c1-aba1的体积为v=saba1a1c1=。【考点】直线与平面垂直的性质，三棱锥的体积。【解析】（i）连接ab1，根据abc- a1b