【备战】高考数学 高频考点归类分析 函数的单调性、周期性、奇偶性（真题为例）.doc

函数的单调性、周期性、奇偶性问题典型例题： 例1. （2012年天津市文5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为【 】（a） （b），且0（c） （d）【答案】b。【考点】函数奇偶性的判断，函数单调性的判断。【分析】利用函数奇偶性的定义可排除c，d，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除a，从而可得答案：对于a，令，则，函数为偶函数。而在上单调递减，在上单调递增，（1，2）中，所以在区间（1，2）内不全是增函数，故排除a。对于b，函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，故b满足题意。对于c，令 ，则，函数为偶函数为奇函数，故可排除c。对于d，为非奇非偶函数，可排除d。故选b。 例2. （2012年广东省理5分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是【】a b cy= d 【答案】a。【考点】函数的图象和性质。【解析】利用对数函数的图象和性质可判断a正确；利用幂函数的图象和性质可判断b错误；利用指数函数的图象和性质可判断c正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断d的单调性：a.在（-2，+）上为增函数，故在（0，+）上为增函数，a正确；b.在-1，+）上为减函数，排除b；c. y=在r上为减函数；排除c；d.在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，排除d。故选 a。例3. （2012年广东省文5分）下列函数为偶函数的是【 】a b c d【答案】d。【考点】函数偶函数的判断。【解析】函数结合选项，逐项检验是否满足，即可判断：a：，则有，为奇函数；b：，则有，为奇函数；c：，则有，为非奇非偶函数；d：，则有，为偶函数。故选d。例4. （2012年浙江省理5分）设，【 】 a若，则 b若，则 c若，则 d若，则【答案】a。【考点】函数的单调性，导数的应用。【解析】对选项a，若，必有。构造函数：，则恒成立，故有函数在x0上单调递增，即ab成立。其余选项用同样方法排除。故选a。例5. （2012年湖南省文5分）设定义在r上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数，当时，01；当 且时 ，则函数在-2，2 上的零点个数为【】a .2 b .4 c.5 d. 8 【答案】。【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。【解析】由当 且时 ，知为减函数；为增函数。又时，0f(x)1，在r上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知在-2，2 上的零点个数为4个。例6. （2012年福建省理5分）设函数，则下列结论错误的是【 】ad(x)的值域为0,1 bd(x)是偶函数cd(x)不是周期函数 dd(x)不是单调函数【答案】c。【考点】分段函数的奇偶性、单调性、值域、周期性。【解析】对于a选项，d(x)的值域为0,1，选项正确； 对于b选项，d(x)是偶函数，选项正确；对于c选项，是d(x) 的一个周期，即d(x)是周期函数，选项错误；对于d选项，但，d(x)不是单调函数，选项正确。故选c。例7. （2012年辽宁省文5分）函数的单调递减区间为【 】（a）（1,1 （b）（0,1 （c.）1，+） （d）（0，+）【答案】b。【考点】用导数求函数的单调区间。【解析】，。 。故选b。例8. （2012年辽宁省理5分）若，则下列不等式恒成立的是【 】(a) (b) (c) (d)【答案】c。【考点】导数公式，利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式。【解析】设，则所以所以当时，同理即。故选c。例9. （2012年陕西省理5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为【 】a. b. c. d. 【答案】d。【考点】函数的奇偶性和增减性的判断。【解析】根据函数的奇偶性和增减性逐一作出判断：对于a，非奇非偶，是r上的增函数，不符合题意；对于b，是偶函数，不符合题意；对于c，是奇函数，但不是增函数；对于d，令，则，函数是奇函数；，函数是增函数。故选d。例10. （2012年上海市理4分）已知函数（为常数）.若在区间1,+)上是增函数，则的取值范围是 .【答案】。【考点】指数函数单调性，复合函数的单调性的判断。【解析】根据函数看出当时函数增函数，而已知函数在区间上为增函数，所以的取值范围为： 。例11. （2012年全国课标卷文5分）设函数的最大值为m，最小值为m，则m+m= 【答案】2。【考点】奇函数的性质。【解析】， 设。 ， 函数是奇函数，关于坐标原点对称，它的最大值与最小值之和为0。 。例12. （2012年上海市理4分）已知是奇函数，且，若，则 .【答案】【考点】函数的奇偶性。【解析】函数为奇函数，即又，。例13. （2012年安徽省文5分）若函数的单调递增区间是，则 【答案】。【考点】函数的单调性。【解析】，由对称性得，即。例14.（2012年山东省文4分）若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a . 【答案】。【考点】函数的增减性。【解析】，。当时，函数是增函数，在1，2上的最大值为，最小值为。此时，它在上是减函数，与题设不符。当时，函数是减函数，在1，2上的最大值为，最小值为。此时，它在上是增函数，符合题意。综上所述，满足条件的。例15. （2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】是定义在上且周期为2的函数，即。 又， 。 联立，解得，。例16. （2012年浙江省文5分）设函数f（x）是定义在r上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x1，则= 。【答案】。【考点】函数的周期性和奇偶性。【解析】。例17.（2012年重庆市文5分）函数 为偶函数，则实数 【答案】4。【考点】函数奇偶性的性质。【分析】由题意可得，对于任意的都成立，代入任一不为0的数可得关于的一元一次方程，解出即可： 令，则，即，即，解得。例18. （2012年浙江省文15分）已知ar，函数（1）求的单调区间（2）证明：当01时， + 0.【答案】解：（1）由题意得， 当时，恒成立，此时的单调递增区间为；当时，此时函数的单调递增区间为。（2）由于，当时，；当时，。设，则。则有0101减极小值增1。当时，总有。【考点】分类思想的应用，利用导数求闭区间上函数的最值和单调区间，不等式的证明。 【解析】（1）求出导数，分和讨论即可。 （2）根据，分和两种情形，得到，从而设出新函数，应用导数，证出，得到恒成立，即。例19.（2012年江西省理14分）若函数满足（1），；（2）对任意，有；（3）在上单调递减。则称为补函数。已知函数。（1）判函数是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在，使得，称是函数的中介元。记时的中介元为，且，若对任意的，都有，求的取值范围；（3）当，时，函数的图像总在直线的上方，求的取值范围。【答案】解：（1）函数h(x)是补函数，证明如下：h(0)1，h(1)0；对任意a0,1，有h(h(a)ha；令g(x)(h(x)p，有g(x)。1，p0，当x(0,1)时，g(x)1且0时，由(*)得x(0,1)或x0,1；得中介元xnn。综合 ：对任意的1，中介元为xnn(n*)。当1时，有sn i，当n无限增大时，n无限接近于0，sn无限接近于。对任意的n*，sn成立等价于，即3，)（3）当0时，h(x)(1xp)，中介元为xp。当01时，依题意只需(1xp)1x在x(0,1)时恒成立，也即xp(1x)p1在x(0,1)时恒成立。设(x)xp(1x)p，x(0,1)，则(x)pxp1(1x)p1。由(x)0得x，且当x时，(x)0。又(0)(1)1，当x(0,1)时，(x)1恒成立。综上：p的取值范围是(1，)。【考点】综合法与分析法的应用