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文档简介

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。例1. 设：a、b、cR，证明：成立，并指出等号何时成立。解析：令 b、cR，0即：，恒成立。当0时，此时，时，不等式取等号。例2. 已知：且，求证： 。解析： 消去c得：，此方程恒成立，即：。同理可求得 构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：由，得0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。例3. 设且，求证：6。解析：构造函数： 由，得0，即.6.例4. 设且，求的最小值。解析：构造函数 由（当且仅当时取等号），得0,即144-4（）0 当时， 构造函数证明不等式1、利用函数的单调性例5、巳知a、b、cR+，且a分析本题可以用比较法、分析法等多种方法证明。若采用函数思想，构造出与所证不等式密切相关的函数，利用函数的单调性来比较函数值而证之，思路则更为清新。证明：令 f（x）=，其中xR+ ，0a0y= 在R+上为减函数从而f（x）= 在R+上为增函数 m0 f（m） f（0）例6、求证： （a、bR）分析本题若直接运用比较法或放缩法，很难寻其线索。若考虑构造函数，运用函数的单调性证明，问题将迎刃而解。证明令 f（x）=，可证得f（x）在0，)上是增函数（证略） 而 0 0 (x1,y1) 原不等式可变形为：Lga 令 f(x)= = 而 lgx0,lgy0, lg2x+lg2y 2lgxlgy 0 1 1f(x,y) 从而要使原不等式对于大于1的任意x与y恒成立，只需Lga即 a10即可。 故必存在常数a，使原不等式对大于1的任意x、y恒成立。3、运用函数的奇偶性 例9、证明不等式：0时，1-2x0 ，故f(x)0 当x0时，根据图象的对称性知f(x)0 故当 x0时,恒有f(x)0 即： (x0) 小结本题运用了比较法，实质是根据函数的奇偶性来证明的，本题也可以
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