楼宇自动控制系统-02数学模型A.pdf

第二节第二节 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 一 系统的微分方程 传递函数 动态结构 图 二 典型输入信号 典型环节 三 自控系统的方框图及闭环传递函数的求 取 四 自动调节器的基本动作规律 小结 控制系统控制系统数学模型数学模型数学模型数学模型是对实际物理系统的一种数学是对实际物理系统的一种数学 抽象抽象 广义理解 揭示控制系统各变量内在联系及关系广义理解 揭示控制系统各变量内在联系及关系 的解析式或图形表示的解析式或图形表示 系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型 图图 模模 型型 方块图方块图 动态结构图动态结构图 信号流程信号流程 图图 数学模型数学模型 微分方程微分方程 传递函数传递函数 频率特性频率特性 文字模型文字模型 算法语言等算法语言等 模型各有特点 使用时可灵活掌握 若分析研模型各有特点 使用时可灵活掌握 若分析研 究系统的动态特性 取其数学模型比较方便 若分究系统的动态特性 取其数学模型比较方便 若分 析研究系统的内部结构情况 取其物理模型比较直析研究系统的内部结构情况 取其物理模型比较直 观 若两者皆有 则取其图模型比较合理观 若两者皆有 则取其图模型比较合理 三域三域三域三域 模型及其相互关系模型及其相互关系模型及其相互关系模型及其相互关系 微分方程 时域 系统系统 传递函数 复域 频率特性 频域 LF t s 1 F 1 L s j s j 例例例 例 建立建立RCRC电路运动方程 电路运动方程 r tr t 输入量输入量 c tc t 输出量输出量 时域 时域 时域 时域 RC T RC T 微分方程微分方程微分方程微分方程 复复复 复 域 域 域 域 传递函数传递函数传递函数传递函数 频频频频 R C i t r t c t dc t T t dt c tr 1 1 R s C s G s Ts 1 jT 1 1 RCj 1c G j r 微分方程微分方程微分方程微分方程 传递函数传递函数传递函数传递函数和和频率特性频率特性频率特性频率特性分别是系统在分别是系统在 时间域时间域 复数域复数域和和频率域频率域中的数学模型 中的数学模型 人们在研究分析一个控制系统的特性时 可人们在研究分析一个控制系统的特性时 可 以根据对象的特点和工程的需要 人为地建立不以根据对象的特点和工程的需要 人为地建立不 同域中的同域中的数学模型数学模型进行讨论 习惯上把用微分方进行讨论 习惯上把用微分方 程的求解 分析系统的方法称为程的求解 分析系统的方法称为数学分析法数学分析法 把 把 用传递函数 频率特性求解 分析系统的方法称用传递函数 频率特性求解 分析系统的方法称 为为工程分析法工程分析法 一般来说 一般来说 工程分析法工程分析法比比数学分析法数学分析法直观 直观 方便 这也是我们引入复域 频域数学模型的主方便 这也是我们引入复域 频域数学模型的主 要原因 要原因 实验法 是对系统或元件输入一定形式的 信号 阶跃信号 单位脉冲信号 正弦信 号等 根据系统或元件的输出响应 经 过数据处理而辨识出系统的数学模型 建立系统数学模型的方法 一般采用 建立系统数学模型的方法 一般采用解析法 解析法 和和实验法实验法 所谓 解析法 即依据系统及元部件各变量之间 所遵循的物理 化学定律列写出变量间的 数学表达式 并经实验验证 从而建立系 统的数学模型 线性定常系统的数学模型线性定常系统的数学模型 微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性 脉冲传递 函数 脉冲传递 函数 状态方程状态方程 微分方程 传递函数 频率特性微分方程 传递函数 频率特性 课题 课题 一一 系统的系统的 微分方程 传递函数 动态结构图微分方程 传递函数 动态结构图 目的 要求 1 掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法 2 掌握传递函数的定义 一般表达式和主要性质 3 熟悉动态结构图 方框图 的基本组成 重点 难点 运用微分方程建立数学模型 传递函数 一 系统微分方程 一 系统微分方程 自动控制系统中自动控制系统中最基本最基本的数学模型的数学模型 建立微分方程式的一般步骤是 确定系统的输入量和输出量 根据各元件或环节所遵循的物理规律 依次列写 它们的微分方程 将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变 量 求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分 方程 它就是系统的微分方程 将该方程整理成标准形式 左c 右r 微分方程建立举例微分方程建立举例 1 1 例1 RC电路 1 确定输入 输出量 输入量为电压 输出量为电压 2 根据基尔霍夫定律 列出原始 微分方程 3 消除中间变量 4 整理为标准形式 r c c u dt du RCu c u dt du Ci c r u rc uRiu RCT uu dt du T rc c RC电路系统是一个一阶常系数线性微分方程 C R ur t uc t i t 微分方程建立举例微分方程建立举例 2 2 例2 机械位移系统 1 确定输入 输出量 设外作用力 为输入量 质量 物体的位移 为输出量 2 建列立微分方程组 根据牛顿第二定律可得 tF ty matFtFtF KB dt tdy ftFB tkytFK 2 2 dt tdy a 微分方程建立举例微分方程建立举例 2 2 续续 3 消除中间变量 4 将式子整理成标准化 2 2 dt tdy mtky dt tdy ftF 2 2 tFtky dt tdy f dt tdy m 机械位移系统是一个二阶常系数线性微分方 程 微分方程建立举例微分方程建立举例 3 3 例3 列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程 例3 列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程 1 确定输入 输出量 输入量为电压Ui 输出量 为电压 Uo 2 列写原始微分方程组 dt dU Ci o idt Cdt di LRiUUUU CLRi 1 2 2 tUtU dt tdU RC dt tUd LC iO OO 微分方程建立举例微分方程建立举例 4 4 例4 求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程 例4 求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程 单容水箱 1 确定输入 输出量 输入量为流入量Qi 输出量液面高度H 2 根据物质守恒定律 列出微分方程 1 确定输入 输出量 输入量为流入量Qi 输出量液面高度H 2 根据物质守恒定律 列出微分方程 dtQQAdH Oi HQO H H RQ 0 3 消除中间变量并将式子标准化处理得 3 消除中间变量并将式子标准化处理得 i QH dt dHA 1 解 其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程 其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程 微分方程建立举例微分方程建立举例 5 5 求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程 求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程 容器2 1 确定输入 输出量 输入量为流入量Q1 输出 量液面高度H2 2 根据物质守恒定律及流 量近似公式 列出微分方程 1 确定输入 输出量 输入量为流入量Q1 输出 量液面高度H2 2 根据物质守恒定律及流 量近似公式 列出微分方程 1 21 1 1 QQ Fdt dH 1 32 2 2 QQ Fdt dH 2112 HHKQ 223 HKQ 2 1 2 2 2 2 211 2 2 2 21 21 K Q H dt dH K F KKF dt Hd KK FF 3 消除中间变量并将式子 标准化处理得 二阶常系数线性微分方程 3 消除中间变量并将式子 标准化处理得 二阶常系数线性微分方程 拉氏变换拉氏变换L 拉普拉斯变换L简称为拉氏变换 它是一种 函数之间的积分变换 拉氏变换是研究控制 系统的一个重要数学工具 它可以把时域中 的微分方程变换成复域中的代数方程 从而 使微分方程的求解大为简化 同时还引出了 传递函数 频率特性等概念 微分方程微分方程 初始条件初始条件 方程的解方程的解 代数方程代数方程 方程的解方程的解 拉氏变换 拉氏反变换 拉氏变换 拉氏反变换 t域域 s域域 用用L拉氏变换解微分方程示意图拉氏变换解微分方程示意图 一 拉氏变换的定义和存在定理 1 定义 一 拉氏变换的定义和存在定理 1 定义 设函数f t 在t 0时有定义 如果线性积分 0 ed st f tt js 为复变量 为复变量 存在 则由此积分所确定的函数可写为 0 e d st f tF st F sf t L L F s 称为f t 的象函数 而f t 称为F s 的原函数 由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换 记作 1 f tF s L L 称其为函数 f t 的拉普拉斯变换 并记作 2 拉普拉斯变换的存在定理2 拉普拉斯变换的存在定理 若函数f t 满足下列条件 在t 0的任一区间上分段连续 在t充分大后满足不等式 f t Mect 其 中M c都是实常数 则f t 的拉氏变换 在平面上Re s c一定存在 此时右端的积 分绝对而且一定收敛 并且在这半平面内 F s 为解析函数 0 e d st F sf tt 二 几种典型函数的拉氏变换二 几种典型函数的拉氏变换 1 单位阶跃信号 函数 1 1 单位阶跃信号 函数 1 t t 数学表达式为 其拉氏变换为tO f t 1 0 0 0 ed 111 1 ede 01 st stst F sf tf tt t sss L L 10 1 00 t f tt t 2 单位斜坡信号 函数 t 2 单位斜坡信号 函数 t tO f t 斜率斜率 1 数学表达式为 0 1 00 tt f ttt t 其拉氏变换为 00 0 0 2 eded 111 eed00 1 stst stst F sf tf tttt ttt sss s L L 3 单位脉冲信号 函数 3 单位脉冲信号 函数 函数函数 函数的表达式为 0 d1 00 t ttt t 且 且 tO t 0 ed1 st F sttt L L 其拉氏变换为 4 正弦信号 函数 sin 4 正弦信号 函数 sin t t 正弦函数定义为 sin0 sin 00 tt t t 0 jj 0 22 sin sined 1 eeed 2j 111 2jjj st ttst F sttt t sss L L 其拉氏变换为 5 等加速信号 函数 5 等加速信号 函数 tO f t 数学表达式为 其拉氏变换为 2 1 0 2 00 tt f t t 2 00 2 0 0 23 1 eded 2 1 1 eed 2 111 00 stst stst F sf tf tttt ttt s sss L L 6 指数函数e6 指数函数e at at e0 00 at ta f t t 为实数 为实数 0 0 eeed 1 ed atatst s a t F st t sa L L 数学表达式为 其拉氏变换为 三 拉氏变换的基本法则 1 三 拉氏变换的基本法则 1 线性法则线性法则 设F1 L f1 t F2 L f2 t a和 b为常数 则有 1212 12 af tbftaf tbft aF sbF s LLLLLL 2 2 微分法则微分法则 设F L f t 则有 d 0 d f t fsF s t L L 2 2 2 0 0 d d f t s F ssff t L L 式中 f 0 f 0 f n 1 0 为f t 及其各阶导数在 t 0处的初值 11 0 0 nnnn fts F sfsf L L 3 3 积分法则积分法则 设F s L f t f 0 0 则有 1 d f ttF s s L L 4 4 终值定理终值定理 若F s L f t 且当t 时 f t 存 在一个确定的值 则其终值 0 lim lim ts f tsF s 该式为求系统的稳态误差 即t 提供了方便 0 lim lim ts ee tsE s 5 5 位移定理位移定理 设F s L f t 则有 0 0 e s f tF s L L 及 e at f tF sa L L 分别称为时域中的位移 延迟 定理 和复域中的位移定理 j 1 j 1 e d 2 j st F sf tF st L L 一般由F s 求f t 常用部分分式法 首先将F s 分解成一些简单的有理分式 函数之和 然后由拉氏变换表一一查出 对应的反变换函数 即得所求的原函数 f t 四 拉氏反变换四 拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下 F s 通常是s的有理分式函数 即分母多项 式的阶次高于分子多项式的阶次 F s 的一 般式为 1 110 1 110 L L mm mm nn nn b sbsb sb F s a sasa sa 式中a1 a2 an 及b1 b2 bm 为实 数 m n为正数 且m n 如果F s 可分解成下列分量 12 L n F sF sFsF s 并且F1 s F2 s Fn s 的拉氏反变 换可以很容易地求出 则 1111 12 12 n n F sF sFsF s f tftft L L LLLLLLLL 例1 求 2 2 43 s F s ss 解 2 22 43 1 3 1 21 2 13 ss F s ssss ss 进行反变换得 3 11 ee 22 tt f t 五 用拉氏变换求解微分方程五 用拉氏变换求解微分方程 用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分 方程的步骤如下 对微分方程两端进行拉氏变换 将微分 方程变为以象函数为变量的代数方程 方 程中初始条件是t 0 时的值 解代数方程 求出象函数的表达式 用部分分式法进行反变换 求得微分 方程的解 例 用拉氏变换求解微分方程 0 2 0 0 0 0 x tx tx txxx 解 对微分方程两端进行拉氏变换 2 0 0 2 2 0 0s X ssxxsX sxX s 代入初始条件 求出象函数X s 的表达式 02 2 21 s X sx ss 11 0 0 nnnn fts F sfsf L L注 注 微分法则 微分法则 将X s 展成部分分式 利用拉氏变换对照 表 求出x t 00 2 0 1 1 1 0 t xx X s ss x tx tet 二 传递函数 二 传递函数 自动控制系统中自动控制系统中最常用的最常用的数学模型数学模型 定义 定义 传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过 程中引伸出来的概念 传递函数的定义为 在初始条 件为零时 输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换 式之比 即 sR sC 输入量的拉氏变换式 输出量的拉氏变换式 输入量的拉氏变换式 输出量的拉氏变换式 s传递函数传递函数 初始条件为零 一般是指输入量在t 0时刻 以后才作用于系统 系统的输入量和输出量及其各阶 导数在t 时的值也均为零 初值为零 传递函数的概念及定义传递函数的概念及定义 C R ur t uc t i t c cr d d u t Tu tu t t 无源无源RCRC网络的微分方程为 设初始值 网络的微分方程为 设初始值u uc c 0 0 对上式取拉氏变换 得 0 0 对上式取拉氏变换 得 ccr cr 1 TsUsUsUs TsUsUs cr 1 1 UsUs Ts cr UsG s Us 令令 1 1 G s Ts 则则 c r Us G s Us 传递函数 传递函数 线性定常系 统在零初始条件下 输出信 号的拉氏变换与输入信号的 拉氏变换之比称为系统 或元 部件 的传递函数 线性定常系 统在零初始条件下 输出信 号的拉氏变换与输入信号的 拉氏变换之比称为系统 或元 部件 的传递函数 G s Ur s Uc s 传递函数的一般表达式 传递函数的一般表达式 传递函数的一般表达式 传递函数的一般表达式 如果系统的输入 量为 输出量为 并由下列微分 方程描述 a a0 0 a a1 1 anan及及b b0 0 b b1 1 bmbm均为系统 结构参数决定的常数 均为系统 结构参数决定的常数 tr tc 01 1 1 1 tcatc dt d atc dt d atc dt d a n n n n n n 1 110 1 mm mm mm ddd br tbdr tbr tb r t dtdtdt 在初始条件为零时 对方程两边进行拉氏变换并整理得 1 110 1 110 mm mm nn nn b sbsbsbC sM s G s R sa sasa saN s sM sN 传递函数的分子 分母多项式 传递函数的性质 传递函数的性质 传递函数的性质 传递函数的性质 传递函数是由微分方程变换得来的 它和微分方程 之间存在着一一对应的关系 对于一个确定的系统 则它的微分方程是唯一的 所以 其传递函数也是唯 一的 传递函数是复变量s的有理分式 s是复数 而分式 中的各项系数都是实数 它们是由组成系统的元件的 参数构成的 所以传递函数只与系统本身内部结构 参数有关 而与输入量 扰动量等外部因素无关 因 此它代表了系统的固有特性 是一种用象函数来描述 系统的数学模型 称为系统的复数域模型 以时间为 自变量的微分方程 则称为时间域模型 传递函数是一种运算函数 由 可得 传递函数的分母多项式等于零 即为 微分方程的特征方程 而特征方程的根反映了系统动态 过程的性质 所以由传递函数可以研究系统的动态特性 特征方程的阶次n即为系统的阶次 通常n m 传递函数是一种数学模型 因此对不同的物理模型 它们可以有相同的传递函数 反之 对同一个物理模型 系统和元件 若选取不同的输入量和输出量 则传递 函数将是不同的 sRsCsG sRsGsC 0 sN 传递函数的描述有一定的局限性 1 只能研究单入 单出系统 对于多入 多出 系统要用传递矩阵表示 2 只能表示输入 输出的关系 对系统内部其 他各变量无法得知 经典控制理论的不足 3 只能研究零初始状态的系统特性 对非零初 始状态的系统运动特性不能反映 传递函数的描述有一定的局限性 1 只能研究单入 单出系统 对于多入 多出 系统要用传递矩阵表示 2 只能表示输入 输出的关系 对系统内部其 他各变量无法得知 经典控制理论的不足 3 只能研究零初始状态的系统特性 对非零初 始状态的系统运动特性不能反映 课题课题 二二 典型环节典型环节 任何一个复杂的系统 总可以看成一些典型 环节组合而成 掌握这些典型环节的特点 可以 更方便地分析复杂系统内部各单元间的联系 目的 要求 1 掌握常用典型环节的微分方程 传递函数和方框 图 动态响应 2 熟悉这种典型环节的应用实例 难点 振荡环节 一 比例环节 一 比例环节 P P 1 微分方程 tKrtc 2 传递函数与方框图 KsG 方框图如图a所示 3 动态响应 当 1 ttr 时 1 tKtc 图a 图b 比例环节的阶跃响应如图b所示 K K为常数 称比例系数或增益 为常数 称比例系数或增益 比例环节能立即成比例 地响应输入量的变化 4 比例环节应用实例比例环节应用实例 运算放大器 运算放大器 2f 11 UR K UR 电位器 电位器 m m U sE K s 二 惯性环节 二 惯性环节 1 微分方程 trtc dt tdc T T 惯性时间常数 2 传递函数与方框图 1 1 Ts sG 图a 方框图如图a所示 3 动态响应 当输入为阶跃信号时通过拉 氏变换与逆变换求得输出响 应为图b Tt etc 1 图b 当输入量发生突变时 输出 量不能突变 只能按指数规 律逐渐变化 4 惯性环节应用实例惯性环节应用实例 a 电阻 电容电路 b 惯性调节器 c 1 1 1 2 TssU sU 1 Ts K sU sU i o 1 1 TsKBs K sX sX i o 运算放大器运算放大器 ff ff 2 11 f1 ff 11 11 RR C sC sUs UsR RRK R C sTs 三 积分环节 三 积分环节 I I 1 微分方程 t dttr T tc 0 1 T 积分时间常数 2 传递函数与方框图 Ts sG 1 方框图如图a所示 3 动态响应 当输入为阶跃信号时通过拉氏 变换与传递函数求得输出响应 为图b 图a 图b t T tc 1 输出量随着时间的增长 而不断增加 增长的斜 率为1 T 4 积分环节应用实例积分环节应用实例 图c 积分器 电压的传递函数 积分器 电压的传递函数 2f 111fi 1 11 UsC s UsRR C sTs 四 微分环节 四 微分环节 D D 1 微分方程 2 传递函数与方框图 3 动态响应 dt tdr tc 微分时间常数 ssG 方框图如图a所示 ttc 理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好 与积分环节相反 传递函数互为倒数 输出只 能反映输入信号的变化率 4 近似微分环节应用实例近似微分环节应用实例 RCssG 11 s s RCs RCs sG 单位阶跃响应曲线如右图所示 t etc 四 四 比例微分环节 比例微分环节 PDPD 1 微分方程 tr dt tdr tc 2 传递函数与方框图 1 ssG 3 动态响应 1 ttc 比例微分环节的阶跃响应为比 例与微分环节的阶跃响应的叠 加 2 1 1 1 1 11 11 1 1 1 UsK Us K RCs K RCsRCs RCss RC RCsK s KK 一阶微分环节一阶微分环节 微分方程微分方程 d d r t c tr t t 传递函数传递函数 1G ss 在放大器上加以 在放大器上加以 RCRC网络反馈 当增 益 网络反馈 当增 益K K足够大时足够大时 4 比例微分环节的应用比例微分环节的应用 当比例微分环节的输入量 为恒值时 其输出量