函数与变量（2）.docx

函数与变量（2）初步了解函数三种表示方法以及三种表示方法的优缺点,会根据具体情况选择适当方法表示函数.1.经历回顾思考,训练提高归纳总结能力.2.利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能力.通过分析具体的问题中的一个变量的值对应着另一个变量的值,体会到函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型.【重点】函数表示方法的应用.【难点】确定实际问题中函数自变量的取值范围.【教师准备】带有网格的纸,三角板.【学生准备】三角板,铅笔,带有网格的纸.导入一:你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的?铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化.这就是我们今天要继续学习的内容.设计意图结合学生熟悉的故事导入新课,激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.导入二:1.有根弹簧原长10 cm,每挂1 kg重物,弹簧伸长0.5 cm,设所挂的重物为m kg,受力后弹簧的长度为l cm,根据上述信息完成下表: m/kg01233.5l/cm受力后弹簧的长度l是所挂重物质量m的函数吗?2.有一辆出租车,前3公里内的起步价为8元,每超过1公里收2元,有一位乘客坐了t(t3)公里,他付费y元,用含x的式子表示y. 3.如图所示的是某地某一天的气温变化图:学生自由思考,自由发言.上面用图、表格或关系式表达的问题反映了两个变量之间的关系.设计意图出示题目,同时提出新的问题,让学生在解决旧知的基础上提出问题,从而激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.1.自变量、函数和函数值思路一过渡语前面我们学习了变量与常量,下面我们一起来思考下面的问题:(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?中国人口数统计表年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71学生通过观察发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.引导学生归纳:上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.教师总结:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.学生分析上面两个问题中的自变量和函数,并交流.在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=2010时,函数值y=13.71.思路二过渡语生活中有许许多多的图形与图象,比如体检时的心电图,心电图直观地反映了心脏生物电流与时间的关系,电流随时间的变化而变化.又如投篮后,篮球划过的一道优美的弧线(抛物线),有些问题中的函数关系很难列式子表示,但我们可以通过图象来直观反映,比如心电图直观地反映心脏生物电流与时间的关系;抛物线直观地反映了篮球的高度与水平距离之间的函数关系, 即使对于能列式表示的函数关系,若也能画图表示,则会使函数关系更清晰.教师随着学生的思考渐渐提问:你去过游乐园吗?你坐过摩天轮吗?你能描述一下坐摩天轮的感觉吗?当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,那么变化有规律吗?摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系,下图就反映了时间t(min)与摩天轮上一点的高度h(m)之间的关系,你能从下图中观察出有几个变化的量吗?当t分别取3,6,10时,相应的h是多少?给定一个t值,你都能找到相应的h值吗?学生围绕问题先独立思考,再进行小组交流.当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,人的高度随时间的变化先增加后减小,然后再增加,接着再减小,按这个规律变化. 从图上可以看出,有两个变量,旋转时间t和摩天轮上一点的高度h,当t分别取3,6,10时,相应的h是47,3,35,给定一个t值,都能找到相应的h值.提问:瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?填写下表:层数n12345物体总数y学生边数边填写上表,观察发现:按如图那样堆放,随着层数的增加,物体的总数逐渐增加.层数n12345物体总数y1361015提问:一定质量的气体在体积不变时,若温度降低到-273 ,则气体的压强为零,因此,物理学把-273 作为热力学温度的零度热力学温度T(K),它与摄氏温度t()之间有如下数量关系:T=t+273,T0.(1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应的热力学温度T是多少?(2)给定一个大于-273 的t值,你能求出相应的T值吗?同桌交流自己的计算方法,再独立完成解答过程.由热力学温度T(K)与摄氏温度t()之间的数量关系:T=t+273,T0可得:(1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应的热力学温度T是230,246,273,291.(2)给定一个大于-273 的t值,利用公式T=t+273,能求出相应的T值.引导学生归纳:上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.教师总结:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.练一练:你能说说上面三个问题中的自变量,函数和函数值吗?学生代表发言,教师点评.设计意图通过上面三个问题的展示,使学生们初步感受到:现实生活中存在大量的变量间的关系,并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的;变量之间的关系表示方式是多样的(图象、列表和解析式等),初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点.知识拓展(1)当已知函数解析式时,给出自变量的值,求相应函数值,就是将自变量x的值代入函数解析式,求代数式的值.(2)当已知函数解析式时,给出函数值,求相应自变量x的值,就是解方程.(3)已知函数解析式,当自变量确定时,函数值也唯一确定;当函数值确定时,自变量不一定唯一确定.2.例题讲解过渡语函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.(教材例1)汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子;(2)指出自变量x的取值范围;(3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少汽油?师生共同分析:(1)油箱中的油量=总量-用去的油量;(2)x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数. 行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50;(3)汽车行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.解:(1)行驶路程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数,它们的关系为y=50-0.1x.(2)仅从式子y=50-0.1x看,x可以取任意实数. 但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50,即0.1x50.因此,自变量x的取值范围是0x500.(3)汽车行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值. 将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1200=30.故汽车行驶200 km时,油箱中还有30 L汽油.归纳总结当函数关系式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义.(补充)求下列函数中自变量x的取值范围.(1)y=3x-1;(2)y=2x2+7;(3)y=;(4)y=.学生独立分析:用数学式子表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第(1)(2)两题,x取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第(3)题,(x+2)必须不等于0式子才有意义,对于第(4)题,(x-2)必须是非负数式子才有意义.解:(1)x为任意实数.(2)x为任意实数.(3)根据题意,得x+20,则x-2.(4)根据题意,得x-20,则x2.归纳总结含分式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0;含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:被开方数为非负数;既含分式又含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0且被开方数为非负数.3.解析式在例1中,像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.(1)在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.(2)函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.可分为下列几种情况:当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.自变量的取值范围可以是有限或无限的,也可以是几个数或单独的一个数.如:y= 中,自变量z的取值范围是z=0;y=+ 中,自变量x的取值范围是x=2.教师说明:函数解析式是等式,指明了哪个是自变量,哪个是函数,书写函数解析式是有顺序的.例如y=x-4表示y是x的函数;若x=y+5,则表示x是y的函数,也就是说求y关于x的函数解析式,必须用含自变量x的代数式表示y,即等式的左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.师生共同回顾本节课所学的主要内容:1.在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.2.函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.(1)当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.(2)当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.(3)当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.(4)在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.1.下表表示y与x的函数关系,则此函数的解析式为.x6420-2-4y-3-2-1012解析:根据表格中的数据知:y是x的一半的相反数,故y=-0.5x.故填y=-0.5x.2.自来水的收费标准是每月不超过10吨,每吨水1.2元,超过部分每吨水1.8元,小王家5月份用水x吨(x10),应交水费y元,则y与x的函数关系式为.解析:小王家的水费=10吨的水费+超过10吨部分的水费.即y=101.2+1.8(x-10)=12+1.8x-18=1.8x-6.故填y=1.8x-6.3.甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米.求y随x(0x100)变化的函数解析式.解:由题意可知x秒后两车行驶路程分别是:甲车为20x米,乙车为25x米.两车行驶路程差为25x-20x=5x(米),两车之间距离为(500-5x)米,所以y随x变化的函数关系式为y=500-5x(0x100).第2课时1.自变量、函数和函数值2.例题讲解3.解析式一、教材作业【必做题】教材第74页练习第1题;教材第81页习题19.1第3题.【选做题】教材第82页习题19.1练习第5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列y与x的函数关系式中,y是x的函数的是()A.x=y2B.y=xC.y2=x+1D.y=|x|2.(2015内江中考)函数y=+中自变量x的取值范围是()A.x2B.x2且x1C.x2且x1D.x13.(2015广安中考)如图所示,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式为()A.y=x+2B. y=x2+2C.y=D. y= 4.若函数y=则当函数值y=8时,自变量x的值是()A.B.4C. 或4D.4或-5.下列函数中,自变量的取值范围错误的是()A.y=2x2中,x取全体实数B.y=中,x取x-1的实数C.y=中,x取x2的实数D.y=中,x取x-3的实数【能力提升】6.下列每组函数是相同函数的是.(填序号)y=x与y=;y=|x|与y=;y=与y=x;y=与y=()2.7.已知两个变量x,y满足关系式2x-3y+1=0,试问:y是x的函数吗?x是y的函数吗?若是,写出y与x的关系式,若不是,说明理由.8.国际上广泛用“身体体重指数”作为判断人体健康状况的一个指标,这个指数B等于人体体重G(千克)除以人体身高h(米)的平方所得的商.(1)写出身体体重指数B与G,h之间的函数关系式;(2)下表是国内健康组织提供的参考标准,若黄老师体重为70千克,身高为1.70