山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 变化率问题与导数的概念学案 新人教A版选修22.doc

山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 变化率问题与导数的概念学案 新人教a版选修2-2学习内容学习指导即时感悟【学习目标】1理解平均变化率与导数的概念；了解平均变化率的几何意义、瞬时速度、瞬时变化率的概念；会求函数在某点处附近的平均变化率及导数。2.用探究的方法由平均变化率探求瞬时变化率，推出导数的概念，理解导数的内涵。3.培养学生科学严谨的探索精神。【学习重点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；导数的概念。【学习难点】平均变化率的概念、导数的概念。【预习新知】1、对于函数，当自变量从变到时，函数值从变到，则称式子为从到的平均变化率，简记作：。2、函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、连线的斜率3、函数在处的瞬时变化率是函数从到的平均变化率在时的极限，即。4、函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作，即5、总结求导数的步骤：一差二比三极限【自主合作探究】一、引入导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二、问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?（1）当v从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（2）当v从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为思考：当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算： 在这段时间里，=在这段时间里，=三、平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为探究1：观察函数f(x)的图象平均变化率表示的几何意义是什么? 直线的斜率探究2：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？否你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？不能刻画在某一时刻的速度3.瞬时速度定义：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。思考（课本p5观察）：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？4.导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即 三典例分析例1已知函数f(x)=的图象上的两点 ,则例2求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：例3（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：见课本p6解答。小结：利用导数的定义求导，步骤为：一差二比三极限【当堂达标】1.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量（d）a.b.c.d.2.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（b）a从时间到时，物体的平均速度；b在时刻时该物体的瞬时速度；c当时间为时物体的速度；d从时间到时物体的平均速度3质点运动规律为，质点在的瞬时