高中数学 第二章 空间向量与立体几何 4 用向量讨论垂直与平行(一)课件 北师大版选修21.ppt

第二章空间向量与立体几何 4用向量讨论垂直与平行 一 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 并能运用它们证明平行问题 2 会用向量语言表述线线 线面 面面的平行关系 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一直线的方向向量和平面的法向量 答案 非零 方向向量 知识点二空间平行关系的向量表示 1 线线平行设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 则l m a b a b 2 线面平行设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量为u a2 b2 c2 则l a u a u 0 3 面面平行设平面 的法向量分别为u a1 b1 c1 v a2 b2 c2 则 u v u v 答案 返回 a1 a2 b1 b2 c1 c2 r a1 a2 b1 b2 c1 c2 r a1a2 b1b2 c1c2 0 题型探究重点突破 题型一利用方向向量和法向量判定线面 面面的位置关系例1根据下列条件 判断相应的线 面位置关系 1 直线l1与l2的方向向量分别是a 2 3 1 b 6 9 3 解 a 2 3 1 b 6 9 3 解析答案 2 直线l1与l2的方向向量分别是a 2 1 4 b 6 3 3 解 a 2 1 4 b 6 3 3 a b 0且a kb k r a b既不共线也不垂直 即l1与l2相交或异面 解析答案 反思与感悟 u v 3 2 1 0 u v 即 4 平面 与 的法向量分别是u 2 3 4 v 4 2 1 解 u 2 3 4 v 4 2 1 u v 0且u kv k r u与v既不共线也不垂直 即 和 相交但不垂直 5 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 0 8 12 u 0 2 3 解 a 0 8 12 u 0 2 3 1 两直线的方向向量共线时 两直线平行 否则两直线相交或异面 2 直线的方向向量与平面的法向量共线时 直线和平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量垂直时 直线在平面内或线面平行 否则直线与平面相交但不垂直 3 两个平面的法向量共线 垂直 时 两平面平行 垂直 否则两平面相交但不垂直 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1设平面 的法向量为 1 3 2 平面 的法向量为 2 6 k 若 则k 解析 1 3 2 2 6 k 4 解析答案 反思与感悟 题型二求平面的法向量 反思与感悟 设n x y z 为平面sdc的法向量 取x 2 则y 1 z 1 平面sdc的一个法向量为 2 1 1 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤 2 设平面的法向量为n x y z 4 所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系 设定一个坐标为常数 常数不能为0 便可得到平面的一个法向量 解析答案 跟踪训练2已知a 1 0 1 b 0 1 1 c 1 1 0 求平面abc的一个法向量 解设平面abc的法向量为n x y z 平面abc的一个法向量为n 1 1 1 解析答案 反思与感悟 题型三利用空间向量证明平行关系例3在四棱锥p abcd中 四边形abcd是正方形 侧棱pd垂直于底面abcd pd dc e是pc的中点 证明 pa 平面edb 解析答案 反思与感悟 证明如图所示 建立空间直角坐标系 d是坐标原点 设pd dc a 方法一连接ac 交bd于点g 连接eg 因为四边形abcd是正方形 所以g是此正方形的中心 而eg 平面edb 且pa 平面edb 所以pa 平面edb 解析答案 反思与感悟 方法二设平面bde的法向量为n x y z 反思与感悟 所以pa 平面bde 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3如图 已知在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 且ad 2 ab 1 pa 平面abcd e f分别是线段ab bc的中点 判断并说明pa上是否存在点g 使得eg 平面pfd 解析答案 解 pa 平面abcd bad 90 ab 1 ad 2 如图 建立空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 1 0 0 f 1 1 0 d 0 2 0 不妨令p 0 0 t 设平面pfd的法向量为n x y z 设点g的坐标为 0 0 m 利用向量法判断直线与平面平行 易错点 解析答案 返回 例4已知u是平面 的一个法向量 a是直线l的一个方向向量 若u 3 1 2 a 2 2 2 则l与 的位置关系是 错解因为u a 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 0 所以u a 所以l 错解分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别 实际上 本例中由向量u a可得l 或l 正解因为u a 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 0 所以u a 所以l 或l 答案l 或l 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 已知a 2 4 5 b 3 x y 分别是直线l1 l2的方向向量 若l1 l2 则 d 1 2 3 4 5 解析答案 2 已知线段ab的两端点坐标为a 9 3 4 b 9 2 1 则线段ab与坐标平面 a xoy平行b xoz平行c yoz平行d yoz相交 c 1 2 3 4 5 解析答案 3 若a 1 0 1 b 2 1 2 在直线l上 则直线l的一个方向向量是 a 2 2 6 b 1 1 3 c 3 1 1 d 3 0 1 解析 a b在直线l上 a 1 2 3 4 5 解析答案 4 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为b 若a b 0 则 a l b l c l d l 或l 解析 a b 0 l 或l d 1 2 3 4 5 解析答案 5 在直三棱柱abc a1b1c1中 以下向量可以作为平面abc法向量的是 填序号 解析 aa1 平面abc b1b 平面abc 课堂小结 返回 1 利用向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点