【备考】全国名校数学试题分类汇编（12月 第四期）J单元 计数原理（含解析）.doc

1 备考备考 2015 20152015 2015 届全国名校数学试题分类汇编 届全国名校数学试题分类汇编 1212 月月 第四期 第四期 j j 单元单元 计数原理 含解析 计数原理 含解析 目录 j j 单元单元 计数原理计数原理 1 1 j1j1 基本计数原理基本计数原理 1 1 j2j2 排列 组合排列 组合 1 1 j3j3 二项式定理二项式定理 1 1 j4j4 单元综合单元综合 5 5 j1j1 基本计数原理基本计数原理 j2j2 排列 组合排列 组合 j3j3 二项式定理二项式定理 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 4 4 已知 展开式的各项依次记为设函数 n x 2 1 1 121 xaxaxaxa nn xf 1 3 2 1321 xanxnaxaxaxa nn 1 若的系数依次成等差数列 求正整数的值 321 xaxaxan 2 求证 恒有 2 0 21 xx 1 2 2 1 21 nxfxf n 知识点 二项式定理 等差数列的性质 d2 j3 答案 解析 1 8 2 见解析 解析 1 由题意知 1 3 2 1 2 1 11 nkxcxa kk nk 的系数依次为 321 xaxaxa 1 0 n c 8 1 2 1 22 1 221 nn c n c nn 2 解得 8 1 1 2 2 nnn 8 n 2 xf 1 3 2 1321 xanxnaxaxaxa nn 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 2 112210nn n nn nnnn xcnxncxcxcc 令 2 x 2 f 1 32 1210n n n nnnn cnncccc 令 0 x1 0 f 设 1 32 1210n n n nnnnn cnnccccs 则考虑到将以上两式相加得 23 1 0121 nnn n n n nn cccnccns kn n k n cc 2 2 1210n n n nnnnn cccccns 2 2 1 n n ns 又当时 恒成立 从而是上的单调增函数 2 0 x0 xf xf 2 0 2 0 21 xx 1 2 2 0 2 1 21 nffxfxf n 思路点拨 1 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项 求出前三项的系数 据 的系数依次成等差数列 列出方程求出 n 的值 2 先利用到序相加法 321 xaxaxa 求出 f 2 f 0 的值 利用导数判断出 f x 的单调性 得证 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 21 本小题满分 14 分 已知二次函数 关于的不等式的解集为 2 1f xxaxm x 2 21 1f xmxm 其中为非零常数 设 1 m m m 1 f x g x x 1 求的值 a 2 如何取值时 函数存在极值点 并求出极值点 k kr ln 1 xg xkx 3 若 且 求证 1m 0 x 1 1 22 nnn g xg xnn 知识点 一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式 e3 e6 b12 j3 答案答案 解析解析 1 2 2 当 m 0 时 k 取任意实数 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 函数 x 有极小值点 x2 有极大值点 x1 其中 3 略 22 12 2424 22 kkmkkm xx 3 解析解析 1 关于 x 的不等式 f x 2m 1 x 1 m2的解集为 m m 1 即不等式 x2 a 1 2m x m2 m 0 的解集为 m m 1 x2 a 1 2m x m2 m x m x m 1 x2 a 1 2m x m2 m x2 2m 1 x m m 1 a 1 2m 2m 1 a 2 2 由 1 得 2 21 1 111 f xxxmm g xx xxx x g x kln x 1 kln x 1 的定义域为 1 1 1 m x x 2 22 21 1 1 11 xk xkmmk x x xx 方程 x2 2 k x k m 1 0 的判别式 2 k 2 4 k m 1 k2 4m 当 m 0 时 0 方程 的两个实根为 则 x 1 x2 时 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx x x2 时 函数 x 在 1 x2 上单调递减 0 x 0 x 在 x2 上单调递增 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 由 0 得或 若 则 故 x 1 时 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx 函数 x 在 1 上单调递增 函数 x 没有极值点 若 0 x 时 则 x 1 x1 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx 时 0 x x x1 x2 时 x x2 时 函数 x 在 1 x1 0 x 0 x 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 函数 x 有极小 值点 x2 有极大值点 x1 综上所述 当 m 0 时 k 取任意实数 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 函数 x 有极小值点 x2 有极大值点 x1 其中 22 12 2424 22 kkmkkm xx 3 证明 m 1 g x 1 1 1 x x 11 1 1 n nnn n g xg xxx xx 4 1122 2 1111 nnnnn nnn nn xc xc xcx xxxx 122412nnnn nnn c xc xcx 令 t 则 t 122412nnnn nnn c xc xcx x 0 122412122412nnnnnnnnn nnnnnn cxcxc xc xc xcx 2t 122244122nnnnnnn nnn cxxcxxcxx 2 2n 2 12101210 22 nnnn nnnnnnnnnn cccccccccc t 2n 2 即 g x 1 n g xn 1 2n 2 思路点拨 本题主要考查二次函数 一元二次不等式 一元二次方程 导数的应用 均值 不等式等 其中利用导数求函数的极值点应注意在其定义域内解答 对于第三问也可以用数 学归纳法证明 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 3 若 7 1 x ax 的展 开式中x项的系数为 280 则a a 2 b 2 c 1 2 d 1 2 知识点 二项式定理 j3 答案答案 解析解析 c