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一 三重积分的概念 二 三重积分的计算 三重积分 一 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用 引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 求分布在 内的物质的 可得 大化小 常代变 近似和 求极限 解决方法 质量M 密度函数为 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似 性质 下列 乘 积和式 极限 二 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 三次积分法 设区域 利用投影法结果 把二重积分化成二次积分即得 其中 为三个坐标 例1 计算三重积分 所围成的闭区域 解 面及平面 2 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 其中 为 例3 计算三重积分 所 解 在柱面坐标系下 及平面 由柱面 围成半圆柱体 例4 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 3 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 如图所示 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围 1 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 2 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离 例5 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 与球面 1 将 用三次积分表示 其中 由 所 提示 思
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