【备考 志鸿优化设计】（湖南专用）中考数学总复习 第15讲 等腰三角形二次函数（基础讲练+锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法）（含解析） 湘教版.doc

第15讲等腰三角形考标要求考查角度1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定2了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定3掌握线段垂直平分线的性质及判定4掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考考查的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线也经常考查.知识梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等，且都等于_；(2)等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定(1)_相等的三角形是等边三角形；(2)_相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为_的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫_2性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_3判定：到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合四、角的平分线1性质：角平分线上的点到角的两边的距离_2判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合自主测试1(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80，则它的底角是()a20 b50 c60 d802(2012广东广州)如图，在等边abc中，ab6，d是bc上一点，且bc3bd，abd绕点a旋转后得到ace，则ce的长度为_3如图，在abc中，c90，ad平分cab，ad5，ac4，则d点到ab的距离是_4等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_考点一、等腰三角形的性质与判定【例1】 已知：点o到abc的两边ab，ac所在直线的距离相等，且oboc(1)如图甲，若点o在边bc上，求证：abac；(2)如图乙，若点o在abc的内部，求证：abac；(3)若点o在abc的外部，abac成立吗？请画图表示解：(1)证明：过点o分别作oeab，ofac，e，f分别是垂足，由题意知，oeof，oboc，rtoebrtofc，bc，从而abac(2)证明：过点o分别作oeab，ofac，e，f分别是垂足，由题意知，oeof.在rtoeb和rtofc中，oe=of，ob=oc，rtoebrtofcobe=ocf.又由ob=oc知obc=ocb，abc=acb，ab=ac(3)不一定成立当a的平分线所在直线与边bc的垂直平分线重合时，有ab=ac；否则，abac，如示例图方法总结 1.要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等2若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理触类旁通1如图，已知acbc，bdad，ac与bd交于o，ac=bd求证：(1)bc=ad；(2)oab是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定【例2】 (1)如图甲，点o是线段ad的中点，分别以ao和do为边在线段ad的同侧作等边三角形oab和等边三角形ocd，连接ac和bd，相交于点e，连接bc求aeb的大小(2)如图乙，oab固定不动，保持ocd的形状和大小不变，将ocd绕着点o旋转(oab和ocd不能重叠)，求aeb的大小分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解：(1)如图甲图甲doc和abo都是等边三角形，且点o是线段ad的中点，odocoboa，1260，45.又45260，430.同理，630.aeb46，aeb60.(2)如图乙图乙doc和abo都是等边三角形，odoc，oboa，1260.又odoa，odob，oaoc，45，67.dob13，aoc23，dobaoc45dob180，67aoc180，2526，56.又aeb85，826，aeb2552，aeb60.方法总结 1.等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等2等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心(四心合一)触类旁通2已知，如图，延长abc的各边，使得bf=ac，ae=cd=ab，顺次连接d，e，f，得到def为等边三角形求证：(1)aefcde；(2)abc为等边三角形考点三、线段的垂直平分线【例3】 如图，abc的周长为30 cm，把abc的边ac对折，使顶点c和点a重合，折痕交bc边于点d，交ac边于点e，连接ad，若ae=4 cm，则abd的周长是()a22 cm b20 cm c18 cm d15 cm解析：由题意可知de为ac的垂直平分线，所以adcd，ac2ae8 cm.因为abc的周长为30 cm，所以abbcac30 cm，所以abbc22 cm.所以abd的周长为abbdadabbc22 cm.答案：a方法总结 1.线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段2线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题触类旁通3如图，在rtabc中，c=90，cab的平分线ad交bc于d，若de垂直平分ab，求b的度数考点四、角的平分线【例4】 如图，已知cdab于点d，beac于点e，且cd，be相交于点o. 求证：(1)当12时，oboc；(2)当oboc时，12.证明：(1)12，cdab，beac，oeod34，ceobdo90，oecodboboc(2)34，ceobdo90，oboc，oecodboeodcdab，beac，oa平分cab12.方法总结 在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通4如图，op平分aob，paoa，pbob，垂足分别为a，b下列结论中不一定成立的是() apapb bpo平分apbcoaob dab垂直平分op1(2012湖南怀化)等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为()a7 b6 c5 d42. (2012湖南常德)如图，在rtabc中，c90，ad是bac的平分线，dc2，则点d到ab边的距离是_3(2012湖南湘潭)如图，abc是边长为3的等边三角形，将abc沿直线bc向右平移，使b点与c点重合，得到dce，连接bd，交ac于点f.(1)猜想ac与bd的位置关系，并证明你的结论；(2)求线段bd的长4. (2012湖南娄底)如图，在abc中，abac，b30，bc8，d在边bc上，e在线段dc上，de4，def是等边三角形，边df交边ab于点m，边ef交边ac于点n. (1)求证：bmdcne；(2)当bd为何值时，以点m为圆心，以mf为半径的圆与bc相切？(3)设bdx，五边形anedm的面积为y，求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围)；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值1. 如图，坐标平面内有一点a(2，-1)，o为原点，p是x轴上的一个动点，如果以点p，o，a为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点p的个数为()a2 b3 c4 d52如图所示，a，b，c分别表示三个村庄，ab1 000米，bc600米，ac800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心p的位置应在() aab中点bbc中点cac中点dc的平分线与ab的交点3在abc中，b和c的平分线交于点f，过点f作dfbc，交ab于点d，交ac于点e，若bdce9，则线段de的长为()a9 b8 c7 d64如图，p，q是abc边bc上的两点，且qcapaqbppq，则bac() a125 b130 c90 d1205. 如图，在abc中，bc=8，ab的中垂线交bc于点d，ac的中垂线交bc于点e，则ade的周长等于_.6如图，已知abc是等边三角形，点b，c，d，e在同一直线上，且cgcd，dfde，则e_度7已知等腰abc的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是_8如图所示，在abc中，d，e分别是边ac，ab上的点，bd与ce交于点o，给出下列三个条件：ebodco；beocdo；becd(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定abc是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明abc是等腰三角形参考答案【知识梳理】一、1.不相等等边二、1.(1)60(2)相等2(1)三条边(2)三个角(3)60三、1.中垂线2.相等3.距离相等四、1.相等2.平分线导学必备知识自主测试1b因为等腰三角形的顶角为80，所以底角(18080)250.22在等边三角形abc中，ab6，bcab6.bc3bd，bdbc2.abd绕点a旋转后得到ace，abdace，cebd2.33在rtadc中，cd3，d点到ab的距离cd3.48或或3探究考点方法触类旁通1.证明：(1)acbc，bdad，dc90.在rtacb和rtbda中，abba，acbd，acbbda(hl)bcad.(2)由acbbda得cabdba.oab是等腰三角形触类旁通2.证明：(1)bfac，abae，faec.def是等边三角形，efde.又aecd，aefcde.(2)由aefcde，得feaedc.bcaedcdecfeadecdef，def是等边三角形，def60，bca60.同理可得bac60.abc中，abbc.abc是等边三角形触类旁通3.解：ad平分cab，cadbad.de垂直平分ab，adbd，bbad.cadbadb.在rtabc中，c90，caddaeb90.b30.触类旁通4.d品鉴经典考题1c腰长5.22过点d作deab，由角平分线的性质得dedc2. 3解：(1)ac和bd互相垂直平分，证明如下：连接ad，由平移的性质可得abcd，abcd，四边形abcd是平行四边形又abbc，平行四边形abcd是菱形ac和bd互相垂直平分(2)由(1)可得，在rtbcf中，bfbcsinbcf.故bd2bf3.4(1)证明：abac，bc.def是等边三角形 ，fdefed.而fdebdmb，fedcenc，dmbenc.bmdcne.(2)解：设bdx，则dmx，作mhde于点h，得mhx，mf4x，又由题设知mhmf，得x4x，解得x168.当bd168时，以点m为圆心，以mf为半径的圆与bc相切(3)解：由bdx，de4，bc8得ec4x，则enec4x.ysabcsbdmsecnx2(4x)2x22x.由m，n分别在线段ab，ac上，得bmab，cnac，则解得x.当x2时，y有最大值，最大值为.研习预测试题1c因为x轴负半轴有一个点，x轴正半轴有三个