山东省济南实验中学高三数学上学期第三次诊断试卷 理（含解析）.doc

山东省济南实验中学2015届高三上学期第三次诊断数学试卷（理科） 一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1（5分）已知m=x|x3|4，n=x|0，xz，则mn=（）ab0c2dx|2x72（5分）幂函数f（x）=kx的图象过点，则k+=（）ab1cd23（5分）已知向量，若垂直，则m的值为（）a1b1cd4（5分）圆（x1）2+y2=1被直线xy=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）a1：2b1：3c1：4d1：55（5分）等比数列an中，a3=6，前三项和s3=4xdx，则公比q的值为（）a1bc1或d1或6（5分）复数z=（mr，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限7（5分）直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）a（1，）b（，+）c（1，+）d（1，）（，+）8（5分）若函数f（x）=（k1）axax（a0，a1）在r上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）abcd9（5分）设偶函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的部分图象如图所示，klm为等腰直角三角形，kml=90，kl=1，则f（）的值为（）abcd10（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和sn，则s10=（）a45b55c90d110二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11（5分）y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为12（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点p（x，y）在所给平面区域内，则z=3x+y的最大值为13（5分）已知离心率为的双曲线c：=1（a0）的右焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则实数m=14（5分）公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1=1，an=25，则n+d的最小值等于15（5分）定义函数d（x）=，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是（把所有可能的图的序号都填上）函数d（x）为偶函数；函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；方程d（x）=f（x）有两个不同的根三、解答题：本大题共6小题，共75分.16（12分）已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果abc的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域17（12分）如图所示，四边形oabp是平行四边形，过点p的直线与射线oa、ob分别相交于点m、n，若 =x，=y（1）利用，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列an的首项a1=1，前 n项和sn满足：sn=f（sn1）（n2），求数列an通项公式18（12分）已知直线l：y=x+m，mr（1）若以点m（2，1）为圆心的圆与直线l相切与点p，且点p在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线c的方程19（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为sn，若s5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求证：tn20（13分）已知函数f（x）=（i）求函数f（x）的单调区间；（ii）若函数f（x）在区间（t，t+）（t0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；（iii）如果当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数a的取值范围21（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的 如图，椭圆c1与椭圆c2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点椭圆c1：的长轴长是4，椭圆c2：短轴长是1，点f1，f2分别是椭圆c1的左焦点与右焦点，（）求椭圆c1，c2的方程；（）过f1的直线交椭圆c2于点m，n，求f2mn面积的最大值山东省济南实验中学2015届高三上学期第三次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1（5分）已知m=x|x3|4，n=x|0，xz，则mn=（）ab0c2dx|2x7考点：交集及其运算 专题：计算题分析：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合m，n，再根据集合交集运算法则，即可求出答案解答：解：m=x|x3|4=（1，7），n=x|0，xz=x|2x1，xz=1，0，mn=0故选b点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合m，n，是解答本题的关键2（5分）幂函数f（x）=kx的图象过点，则k+=（）ab1cd2考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题：函数的性质及应用分析：由函数f（x）=kx是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点的坐标代入可得值，从而得到幂函数的解析式解答：解：函数f（x）=kx是幂函数，k=1，幂函数f（x）=x的图象过点，（）=，得=，则k+=1+=故选c点评：本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念3（5分）已知向量，若垂直，则m的值为（）a1b1cd考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：根据向量坐标运算的公式，求出向量的坐标再利用向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，可求解m的值解答：解向量=（14，3+2m）=（3，3+2m）又向量与互相垂直，（）=1（3）+3（3+2m）=03+9+6m=0m=1故选b点评：本题根据两个向量垂直，求参数m的值，考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标公式和两个向量垂直的充要条件等知识点，属于基础题4（5分）圆（x1）2+y2=1被直线xy=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）a1：2b1：3c1：4d1：5考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得解答：解：圆的圆心为（1，0）到直线xy=0的距离为=弦长为2=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为21=，较长的弧长为2=较短弧长与较长弧长之比为1：3故选b点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案5（5分）等比数列an中，a3=6，前三项和s3=4xdx，则公比q的值为（）a1bc1或d1或考点：定积分；等比数列的前n项和 专题：计算题分析：根据题意，直接找出被积函数4x的原函数，直接计算在区间0，3上的定积分即可得s3，再结合等比数列的性质求得公比q的值即可解答：解：s3=034xdx=18，2q2q1=0q=1或，故选c点评：本题考查等比数列的前n项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题6（5分）复数z=（mr，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限解答：解：由已知z=（m4）2（m+1）i在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限故选a点评：本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应7（5分）直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）a（1，）b（，+）c（1，+）d（1，）（，+）考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，可得1b0或b1利用e=即可得出解答：解：直线y=x1与双曲线x2=1（b0）有两个不同的交点，1b0或b1e=1且e故选：d点评：本题考查了双曲线与直线相交问题、离心率计算公式，考查了数形结合的思想方法，属于基础题8（5分）若函数f（x）=（k1）axax（a0，a1）在r上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）abcd考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质 专题：数形结合分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果解答：解：函数f（x）=（k1）axax（a0，a1）在r上是奇函数，f（0）=0k=2，又f（x）=axax为减函数，所以1a0，所以g（x）=loga（x+2）定义域为x2，且递减，故选：a点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用9（5分）设偶函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的部分图象如图所示，klm为等腰直角三角形，kml=90，kl=1，则f（）的值为（）abcd考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：通过函数的图象，利用kl以及kml=90求出求出a，然后函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，即可求解f（）的值解答：解：因为f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的部分图象如图所示，klm为等腰直角三角形，kml=90，kl=1，所以a=，t=2，因为t=，所以=，函数是偶函数，0，所以=，函数的解析式为：f（x）=sin（x+），所以f（）=sin（+）=cos=故选：d点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力10（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和sn，则s10=（）a45b55c90d110考点：数列的求和；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：由分段函数解析式得到函数f（x）在x0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）x在（2，0上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）x在（0，2，（2，4，（4，6，（2n，2n+2上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案解答：解：当0x2时，有2x20，则f（x）=f（x2）+1=2x2，当2x4时，有0x22，则f（x）=f（x2）+1=2x4+1，当4x6时，有2x24，则f（x）=f（x2）+1=2x6+2，当6x8时，有4x16，则f（x）=f（x2）+1=2x8+3，以此类推，当2nx2n+2（其中nn）时，则f（x）=f（x2）+1=2x2n2+n，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x1和y=x的图象，取x0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（1，）即当x0时，方程f（x）x=0有两个根x=1，x=0；当0x2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4，（4，6，（2n，2n+2上的零点分别为：3，4；5，6；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，其通项公式为：an=2（n1），前10项的和为s10=故选：c点评：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11（5分）y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为ln2考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题分析：由图形可知求出x从1到2，0上的定积分即为y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积解答：解：由图可知，y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积设为s则s=12（0）dx=lnx|12=ln2ln1=ln2故答案为ln2点评：考查学生会利用定积分求平面图形面积会利用数形结合的数学思想来解决实际问题12（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点p（x，y）在所给平面区域内，则z=3x+y的最大值为12考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，先求出a，再将z=3x+y化为y=3x+z，z相当于直线y=3x+z的纵截距，由几何意义可得解答：解：由题意作出其平面区域，故由题意知，a2a=9；故a=3；则z=3x+y化为y=3x+z，z相当于直线y=3x+z的纵截距，由图可得，当过点（3，3）时有最大值，即z=33+3=12故答案为：12点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题13（5分）已知离心率为的双曲线c：=1（a0）的右焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则实数m=3考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先由双曲线的离心率求出a2的值，由此得到双曲线的右焦点，再求出抛物线y2=4mx的焦点坐标，从而求出实数m解答：解：双曲线c：=1的离心率为，e=，b2=4a2=5，=3，双曲线c：=1（a0）的右焦点（3，0），抛物线y2=4mx的焦点（m，0），又双曲线c：=1（a0）的右焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，m=3故答案为：3点评：本题考查抛物线的简单性质、双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于基础题14（5分）公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1=1，an=25，则n+d的最小值等于11考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列的首项和公差d，写出等差数列的通项公式，得到n与d的关系式，解出d，根据等差数列的各项均为正整数，得到d也为正整数，即为24的约数，进而得到相应的n的值，得到n与d的六对值，即可得到n+d的最小值解答：解：由a1=1，得到an=a1+（n1）d=1+（n1）d=25，即（n1）d=24，解得：d=，因为等差数列的各项均为正整数，所以公差d也为正整数，因此d只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时n相应取25，13，9，7，5，4，3，2则n+d的最小值等于11故答案为11点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题本题的突破点是得到公差d只能取24的约数15（5分）定义函数d（x）=，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是（把所有可能的图的序号都填上）函数d（x）为偶函数；函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；方程d（x）=f（x）有两个不同的根考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：由已知中函数d（x）=，f（x）=1gx，分析d（x）的奇偶性与周期性，可判断；分析方程d（x）=f（x）根的个数，可判断解答：解：函数d（x）=，f（x）=1gx，对于，当xq时，d（x）=d（x）=1，当xq时，d（x）=d（x）=0，即d（x）=d（x）恒成立，函数d（x）为偶函数，故正确；对于，函数d（x）为周期函数，且任何非零有理数均为其周期，故错误；对于，当且仅当x=10时，d（x）=f（x），故方程d（x）=f（x）仅有一个根，故错误故答案为：点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，周期性，函数零点与方程根的关系，难度不大，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.16（12分）已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果abc的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性 专题：综合题分析：（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f（x）的单调递增区间；（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，进而可求三角函数的值域解答：解：（1）向量=（sin，cos）=（cos，cos），函数f（x）=sin（）+，令2k2k+，解得故函数f（x）的单调递增区间为（2）由已知b2=ac，cosx=，cosx1，0xsin（）1，sin（）+1+f（x）的值域为（，1+点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的值域的求法，考查计算能力17（12分）如图所示，四边形oabp是平行四边形，过点p的直线与射线oa、ob分别相交于点m、n，若 =x，=y（1）利用，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列an的首项a1=1，前 n项和sn满足：sn=f（sn1）（n2），求数列an通项公式考点：数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：综合题分析：（1）用分别表示，再利用向量共线的条件，即可得到结论；（2）当n2时，由sn=f（sn1）=，则，可得数列是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项解答：解：（1），xy（1+x）=0，即函数的解析式为：f（x）=（0x1）；（2）当n2时，由sn=f（sn1）=，则又s1=a1=1，那么数列是首项和公差都为1的等差数列，则，即sn=n2时，an=snsn1=；n=1时，a1=1故an=点评：本题考查向量知识的运用，考查向量共线的条件，考查等差数列的证明，考查求数列的通项，属于中档题18（12分）已知直线l：y=x+m，mr（1）若以点m（2，1）为圆心的圆与直线l相切与点p，且点p在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线c的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系 专题：综合题分析：（1）解法1：确定点p的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；解法2：利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（2）解法1：设出直线为l的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；解法2：利用导数求切线，从而可直线l的方程和抛物线c的方程解答：解：（1）解法1：依题意得点p的坐标为（m，0）（1分）以点m（2，1）为圆心的圆与直线l相切与点p，mpl，解得m=1（3分）点p的坐标为（1，0）设所求圆的半径r，则r2=|pm|2=1+1=2，（5分）所求圆的方程为（x2）2+（y+1）2=2（6分）解法2：设所求圆的方程为（x2）2+（y+1）2=r2，（1分）依题意知点p的坐标为（m，0）（2分）以点m（2，1）为圆心的圆与直线l相切于点p（m，0），解得（5分）所求的圆的方程为（x2）2+（y+1）2=2（6分）】（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成y，可得直线l的方程为y=xm（7分）由得mx2+x+m=0，（m0）（9分）=14m2，（10分）直线l与抛物线相切=0，解得（12分）当时，直线l的方程为，抛物线c的方程为x2=2y，（13分）当时，直线l的方程为，抛物线c的方程为x2=2y（14分）解法2：将直线方程y=x+m中的y换成y，可得直线l的方程为y=xm（7分）设直线l与抛物线相切的切点为（x0，y0），（8分）由y=mx2得y=2mx，则2mx0=1（10分）y0=x0m联立得，（12分）当时，直线l的方程为，抛物线c的方程为x2=2y，（13分）当时，直线l的方程为，抛物线c的方程为x2=2y（14分）】点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于中档题19（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为sn，若s5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求证：tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意得，由此能求出an=4n+2（2）由a1=6，d=4，得sn=2n2+4n，=，从而tn=，由此能证明tn解答：解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，an=6+（n1）4=4n+2（2）a1=6，d=4，sn=6n+=2n2+4n，=，tn=，（tn）min=t1=故tn点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（13分）已知函数f（x）=（i）求函数f（x）的单调区间；（ii）若函数f（x）在区间（t，t+）（t0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；（iii）如果当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（i）求导f（x）=，从而由导数的正负确定函数的单调区间；（ii）由f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+）得t1t+，从而解得；（iii）不等式f（x）可化为a，令g（x）=，从而化恒成立为agmin（x），（x1）；从而转化为函数的最值问题解答：解：（i）f（x）=，x0，故f（x