【备考】全国名校高考数学试题分类汇编（12月 第一期）D2 等差数列及等差数列前n项和（含解析）.doc

d2 等差数列及等差数列前n项和【数学理卷2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】19（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（）求数列和的通项公式：（）设，设为的前n项和，求.【知识点】 等差数列等比数列数列求和d2 d3 d4【答案解析】(1) , . （2）（1）数列bn的前n项和sn满足sn=（bn-1），b1=s1=(b1-1)，解得b1=3当n2时，bn=sn-sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1数列bn为等比数列，bn=33n-1=3na2=b1=3，a5=b2=9设等差数列an的公差为d，解得d=2，a1=1an=2n-1综上可得：an=2n-1，bn=3n（2）cn=anbn=（2n-1）3ntn=3+332+533+（2n-3）3n-1+（2n-1）3n，3tn=32+333+（2n-3）3n+（2n-1）3n+1-2tn=3+232+233+23n-（2n-1）3n+1=-（2n-1）3n+1-3=（2-2n）3n+1-6tn=3+(n-1)3n+1【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出【数学理卷2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）a. 27 b.3 c.或3 d.1或27【知识点】等差数列等比数列 d2 d3【答案解析】a 成等差数列3a1+2a2=a3，3a1+2a1q=a1q2q2-2q-3=0q0q=3=q3=27故选a【思路点拨】由已知可得，3a1+2a2=a3，结合等比数列的通项公式可求公比q，而=q3，代入即可求解.【数学理卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】21.（本题满分13分）已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足.令，且，例如：.()若，数列的前n项和为sn，求s19的值；()试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。存在数列使得；如果数列是等差数列，则；如果数列是等比数列，则。【知识点】数列求和；数列性质得研究. d2 d3 d4 【答案】【解析】() ； （）是真命题，是假命题.理由：见解析.解析：1分3分5分（）显然是对的，只需满足7分 显然是错的，若，9分也是对的，理由如下：10分首先是奇函数，因此只需考查时的性质，此时都是增函数，从而在上递增，所以在上单调递增。若，则，所以，即，所以.同理若，可得，所以时，.由此可知，数列是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；若各项符号不一致，则公比且，若是偶数，符号一致，又符号一致，所以符合；若是奇数，可证明总和符号一致”，同理可证符合；12分综上所述，是真命题；是假命题13分【思路点拨】()、由取值得周期性，寻找前n项和的求和规律 ；（）、当时，.所以是对的；当数列是等差数列，且时，.所以是错的；当数列是等比数列时，根据已知条件得公比q ，分q0,q0两种情况讨论得.所以是对的.【数学理卷2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】4. 已知为等差数列，其前n项和为sn，若，则下列各式一定为定值的是（ ）a.b.c.d. 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和d2【答案】【解析】c 解析：定值，,故选c.【思路点拨】利用等差数列的前n项和，得到为定值，再利用等差数列的性质即可【数学理卷2015届河南省实验中学高三上学期期中考试（201411）】5.设是等差数列，是其前n项和，且，则下列结论错误的是( ) a b c d和均为的最大值【知识点】等差数列及等差数列前n项和d2【答案解析】c 由s5s6得a1+a2+a3+a5a1+a2+a5+a6，即a60，又s6=s7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，故b正确；同理由s7s8，得a80，d=a7-a60，故a正确；而c选项s9s5，即a6+a7+a8+a90，可得2（a7+a8）0，由结论a7=0，a80，显然c选项是错误的s5s6，s6=s7s8，s6与s7均为sn的最大值，故d正确；故选c【思路点拨】利用结论：n2时，an=sn-sn-1，易推出a60，a7=0，a80，然后逐一分析各选项，排除错误答案【数学理卷2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】8已知数列是等差数列，若a2014+a20150，a2014a20150，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ） a4029 b4028 c4027 d4026【知识点】等差数列的性质d2【答案】【解析】a 解析：an是递增的等差数列，又a2014+a20150，a2014a20150a20140，a20150，数列的前2014项为负数，从第2015项开始为正数，由求和公式和性质可得s4027=4027a20140，s4028=2014（a1+a4028）=2014（a2014+a2015）0，s4029=4029a20150，sn取得最小正值时n等于4029,故选：a【思路点拨】由题意易得列的前2014项为负数，从第2015项开始为正数，由求和公式和性质可得s40270，s40280，可得答案【数学理卷2015届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（201411）】17.(12分) 已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列 (1)求数列的通项公式. (2)若,是数列的前项和，求证:.【知识点】等差数列及等差数列前n项和d2【答案解析】（1）an=2n-1（2）略（1）设数列an公差为d，且d0，a1，a2，a5成等比数列，a1=1（1+d）2=1（1+4d）解得d=2，an=2n-1（2）=sn=b1+b2+bn=（1-）+（-）+【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用裂项求和即可得出【数学文卷2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】19（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（）求数列和的通项公式：（）设，设为的前n项和，求.【知识点】 等差数列等比数列数列求和d2 d3 d4【答案解析】(1) , . （2）（1）数列bn的前n项和sn满足sn=（bn-1），b1=s1=(b1-1)，解得b1=3当n2时，bn=sn-sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化为bn=3bn-1数列bn为等比数列，bn=33n-1=3na2=b1=3，a5=b2=9设等差数列an的公差为d，解得d=2，a1=1an=2n-1综上可得：an=2n-1，bn=3n（2）cn=anbn=（2n-1）3ntn=3+332+533+（2n-3）3n-1+（2n-1）3n，3tn=32+333+（2n-3）3n+（2n-1）3n+1-2tn=3+232+233+23n-（2n-1）3n+1=-（2n-1）3n+1-3=（2-2n）3n+1-6tn=3+(n-1)3n+1【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出【数学文卷2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）a. 27 b.3 c.或3 d.1或27【知识点】等差数列等比数列 d2 d3【答案解析】a 成等差数列3a1+2a2=a3，3a1+2a1q=a1q2q2-2q-3=0q0q=3=q3=27故选a【思路点拨】由已知可得，3a1+2a2=a3，结合等比数列的通项公式可求公比q，而=q3，代入即可求解.【数学文卷2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】13公差不为零的等差数列an中，a1a2a39，且a1，a2，a5成等比数列，则数列an的公差为 【知识点】等差数列的性质d2【答案】【解析】2 解析：由等差数列的性质知3a29，所以a23，又a(a2d)(a23d)，解得d2.故选b.【思路点拨】设出数列的公差，利用a1a2a39，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a3成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d【数学文卷2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】4.已知数列an是等差数列，若a1a5a9，则cos(a2a8)(a)a b c. d.【知识点】等差数列的性质d2【答案】【解析】a 解析：数列an是等差数列，故选a【思路点拨】利用等差数列的性质，求得，从而可得结论【数学文卷2015届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（201411）】15已知等差数列的前项和为，若 则 【知识点】等差数列及等差数列前n项和d2【答案解析】45 s3=9，s6=36，a4+a5+a6=s6-s3=36-9=27，又a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=s3+9d=9+9d=27，d=2，a4+a5+a6=3a5=27，a5=a1+4d=a1+8=9，即a1=1，则a8=a1+7d=1+14=15所以45故答案为：45【思路点拨】由s6-s3=a4+a5+a6，利用等差数列的通项公式及性质化简，求出公差d的值，进而求出首项a1的值，然后利用等差数列的通项公式化简a8后，将d与a1的值代入，即可求出a8的值【数学文卷2015届河南省实验中学高三上学期期中考试（201411）】4设是等差数列的前n项和，若 ( )a b c d 【知识点】等差数列及等差数列前n项和d2【答案解析】a 根据等差数列的性质=1，故选a。【思路点拨】根据等差数列性质求出比值。【数学文卷2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】19.（本小题满分12分）数列满足( 1 ) 证明：数列是等差数列；( 2 ) 设，求数列的前项和【知识点】数列的求和；等差关系的确定d2 d4【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）证：由已知可得， 3分 即 4分所以是以为首项， 1为公差的等差数列 6分（2）解：由（）得，所以 7分从而 8分 9分-得 10分 11分所以 12分【思路点拨】（1）变形利用等差数列的通项公式即可得出（2）“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【数学文卷2015届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411）】21（本小题12分）设数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列求证：. 【知识点】数列的通项公式，数列求和 等差数列d1 d2 d4【答案】【解析】（1），（2）略 解析：（1），（） =即() 当,得=6 即（2），则， 设 则 -得：2+=+因此 .【思路点拨】遇到数列的前n项和与通项构成的递推公式，可先利用前n项和与通项之间的关系转化为项的递推公式进行解答，遇到与n项和有关的不等式，可考虑先求和再证明.【数学文卷2015届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411）】13若为等差数列，是其前项和，且，则的值为 【知识点】等差数列d2【答案】【解析】 解析：因为，所以.【思路点拨】一般遇到等差数列问题，可先观察其项数，根据项数的关系判断是否能用等差数列的性质解题，能用性质的优先利用性质解答.【数学文卷2015届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411）】10. 已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前10项和=( )a b c d2【知识点】等差数列 数列求和 直线与圆位置关系d2 d4 h4【答案】【解析】b 解析：因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线经过圆心，则有2+0d=0，d=2，而直线与直线垂直，所以，则,所以数列的前10项和为，所以选b.【思路点拨】遇到数列求和问题，一般先确定数列的通项公式，再根据通项公式特征确定求和思路.【数学文卷2015届吉林省