勾股定理的证明（数学活动）.doc

勾股定理的证明（数学活动）一、教材分析： 1、教材的地位和作用 勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数学发现之一。但是由于教材在编写过程中遵循了简约性的原则，在学习勾股定理知识的过程中，没能更深入地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。勾股定理的证明属于数学课程标准 中所规定的“实践与综合应用”领域的内容，是对课本知识进一步的延伸和拓展，让学生更全面的认识勾股定理，了解定理证明之间的内在联系，通过经历综合应用知识 解决问题的过程，领会其中的数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创新意识和学习数学的兴趣。2、教学目标 ： 通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创 新能力。 让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。3、教学重点和难点 重点： 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。 尝试利用“五巧板”拼图，验证勾股定理。 难点： “数形结合”思想方法的理解和应用。 通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。二、教法选择 选用学生喜爱的几种拼证方法进行分析、比较、欣赏，探讨勾 股定理的文化价值，同时，设计利用“五巧板”拼出不同图形 验证勾股定理的实践活动。以达到突出重点的目的。在多种拼法的比较和欣赏中，渗透数形结合思想，以突破本节课 教学难点。在教法上，我采用活动探究式教学法及CAI辅助教学法。三、学法指导“操作+思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。在学法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生通过动手实践，合作探究的方式进行学习。 四、课程设计1.课前自主探究活动 具体的做法是： 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。探究报告勾股定理证明方法汇总方法种类及历史背景 验证定理的具体过程 知识运用及思想方法2. 探究成果的交流与展示方法一：三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经作注解时，创制了一幅 “勾股圆方图”,也称为“弦图”,这是我国对勾股定理最早的证 明。2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正 是经过艺术处理的“弦图”,标志着中国古代数学成就。方法二：约公元 263 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍九章算术作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。方法三 希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330公元前275)在巨著 几何原本给出一个公理化的证明。1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”。 意大利著名画家达 芬奇的证法： 在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角 边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两 个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定 理的证明 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。3.验证过程的分析与欣赏问题思考 对某一验证方法运用了哪些数学知识？ 体现了哪些数学思想方法？ 这种方法与其他方法比较，有什么共同点 和不同点？三种类型：第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的 截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合 。第二种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用 任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股 定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角 边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定 理的证明。第三种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。如图，过A点画一直线AL使其垂直于DE, 并交DE于L,交BC于M。通过证明BCFBDA,利用三角形面 积与长方形面积的关系，得到 正方形ABFG与矩形BDLM等积， 同理正方形ACKH与 矩形MLEC 也等积，于是推得AB2 AC 2 BC 2 以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手， 运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类型还与拼图有着密切的关系。4.勾股定理的文化价值： (1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。 (2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都 应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的信号。(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。 (4)勾股定理公