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2一致收敛函数列与函数项级数的性质有了一致收敛概念我们就可以回答本章开始时提出的问题。连续性定理A 设在上,且对,函数在上连续 , 在上连续.证 要证 : 对, 在点连续 . 即证:对, , 当 |时, . .估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数在点连续, 第二项也可以任意小 . 推论 设在上. 若在上间断 ，则函数列在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立.註 定理A表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列, 有 .即极限次序可换 .由定理A可推得定理13.9（连续性） 若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项连续，则其和函数在连续，即 。可积性定理B 若在区间上函数列一致收敛 , 且每个在上连续. 则有 .证 设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 , 可见只要在上成立.定理的条件可减弱为: 用条件“在上( R )可积”代替条件“在上连续”. 证明可参阅 江泽坚著数学分析上册P350.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: 定理 设是定义在区间上的函数列. 若在上收敛且一致可积 , 则其极限函数在上( R)可积 , 且有 .由定理B可推得定理13.10（逐项求积性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项连续，则可逐项求积，即 例 研究函数 的连续性，可积性和可微性。 可微性:定理C 设函数列定义在区间上, 在某个点收敛. 对, 在上连续可导, 且由导函数构成的函数列在上一致收敛, 则函数列在区间上收敛, 且有 .证 设，. , .对, 注意到函数连续和 +, 就有 + + +.估计 |+ | + |, 可证得. .即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 由定理C可推得定理13.11（逐项求导性） 若函数项级数在区间上每一项连续有连续导数，为的收敛点，且 在上一直收敛，可逐项求导，即例 证明函数在区间内连续. 证 ( 先证在区间内闭一致收敛.)对，有，；又，在一致收敛.( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函
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