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杨辉三角 研究性课题 1 介绍杨辉 古代数学家的杰出代表 杨辉 杭州钱塘人 中国南宋末年数学家 数学教育家 著作甚多 他编著的数学书共五种二十一卷 著有 详解九章算法 十二卷 1261年 日用算法 二卷 乘除通变本末 三卷 田亩比类乘除算法 二卷 续古摘奇算法 二卷 其中后三种合称 杨辉算法 朝鲜 日本等国均有译本出版 流传世界 杨辉三角 出现在杨辉编著的 详解九章算法 一书中 此书还说明表内除 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的 BlaisePascal 1623年 1662年 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 在 详解九章算法 中载有一张珍贵的图形 开方作法本源 图 图2 7 根据杨辉自注 此图 出 释锁算书 贾宪用此术 就是说 这张图是贾宪 11世纪 创造的 原载于 释锁算书 已失传 中 这张图实际上是一个二项式展开式的系数表 它包括了0次到6次二项式的全部系数 这些展开式用现代数学符号表示就是 a b 0 1 a b 2 a b a b 2 a2 2ab b2 第5行1551 第0行1 杨辉三角 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行141 第6行161561 第n 1行1 第n行1 15 15 5 10 20 20 10 10 10 6 4 10 10 6 4 10 6 6 3 3 4 1 3 4 一 简介 杨辉三角的基本性质 1 表中每个数都是组合数 第n行的第r 1个数是 2 三角形的两条斜边上都是数字1 而其余的数都等于它肩上的两个数字相加 也就是 3 杨辉三角具有对称性 4 杨辉三角的第n行是二项式 a b n展开式的二项式系数即 证明 2 假设当n k时等式成立 即 则当n k 1时 1 当n 1时 左边 a b 右边 a b 所以等式成立 利用组合数的重要性质可得 求证 2 观察杨辉三角所蕴含的数量关系 及有趣的数字排列规律 1 计算杨辉三角中各行数字的和 看有何规律 第0行1 1第1行1 1 2第2行1 2 1 4 22第3行1 3 3 1 8 23第4行1 4 6 4 1 16 24第5行1 5 10 10 5 1 32 25 第n行 结论 1 第n行数字的和为2n 2 前n行 含第0行 所有数的和为2n 1 它恰好比第n行的和2n小1 2 斜看杨辉三角中各数的和 又有何规律 第P列斜线上的前Q个数之和等于第 P 1 列斜线上的第Q个数 3 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 1 1 2 3 5 8 13 21 34 此数列 an 满足 a1 1 a2 1 且an an 1 an 2 n 3 这就是著名的斐波那契数列 介绍斐波那契 兔子繁殖问题 增强趣味性 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作 算术之法 中提出了一个饶有趣味的问题 假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子 再过一个月就开始生下一对小兔子 并且以后每个月都生一对小兔子 设所生一对兔子均为一雄一雌 且均无死亡 问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案 1 1 2 3 5 8 13 21 34 让我们慢慢地算一下一月初兔子刚出生 但是还没成熟 还不能生小兔子1对小兔子二月初但是还没成熟 还不能生小兔子1对小兔子三月初成熟第一代兔子生了一对小兔子2对小兔子四月初成熟第一代兔子生了一对小兔子3对小兔子五月初成熟第一二代兔子各生了一对小兔子5对小兔子六月初成熟三对兔子各生了一对小兔子8对小兔子七月初成熟五对兔子各生了一对小兔子13对小兔子八月初成熟八对兔子各生了一对小兔子21对小兔子九月初成熟13对兔子各生了一对小兔子34对小兔子十月初成熟21对兔子各生了一对小兔子55对小兔子11月初成熟34对兔子各生了一对小兔子89对小兔子12月初成熟55对兔子各生了一对小兔子144对小兔子 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作 算术之法 中提出了一个饶有趣味的问题 假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子 再过一个月就开始生下一对小兔子 并且以后每个月都生一对小兔子 设所生一对兔子均为一雄一雌 且均无死亡 问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子 1 斐波那契 兔子繁殖问题 二 引入 在游艺场 可以看到如图的弹子游戏 小球 黑色 向容器内跌落 碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落 碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落 2 杨辉三角与弹子游戏 如是 一直下跌 最终小球落入底层 根据具体区域获得奖品 试问 为什么两边区奖品高于中间区奖品 纵横路线图 是数学中的一类有趣的问题 如图是某城市的部分街道图 纵横各有五条路 如果从A处走到B处 只能由北到南 由西向东 那么有多少种不同的走法 A B 3 杨辉三角与 纵横路线图 从某种意义上说 发现问题更重要 第5行1551 第0行1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行141 第6行161561 第n 1行1 第n行1 15 15 5 10 20 20 10 10 10 6 4 10 10 6 4 10 6 6 3 3 4 1 3 4 三 新课 杨辉三角蕴含的数字排列规律 1 研究斜行规律 第一条斜线上 第二条斜线上 第三条斜线上 第四条斜线上 猜想 在杨辉三角中 第m条斜线 从右上到左下 上前n个数字的和 等于 1 1 1 1 1 1 6 1 2 3 4 5 15 1 3 6 10 20 1 4 10 15 第m 1条斜线上的第n个数 1 1 1 1 第1条斜线 1 4 10 第4条斜线 1 3 6 第3条斜线 1 2 3 第2条斜线 n r 结论1 杨辉三角中 第m条斜 从右上到左下 上前n个数字的和 等于第m 1条斜线上第n个数 即 根据杨辉三角的对称性 类似可得 杨辉三角中 第m条斜 从左上到右下 上前n个数字的和 等于第m 1条斜线上第n个数 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 2 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 第8行18285670562881 从第三个数起 任一数都等于前两个数的和 这就是著名的斐波那契数列 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作 算术之法 中提出了一个饶有趣味的问题 假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子 再过一个月就开始生下一对小兔子 并且以后每个月都生一对小兔子 设所生一对兔子均为一雄一雌 且均无死亡 问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案 1 1 2 3 5 8 13 21 34 1 斐波那契 兔子繁殖问题 四 应用 规律 从第3条斜线中数字的和起 其后各斜线中数字的和是前两条斜线中数字和之和 即 1 1 2 3 5 8 13 21 34 此数列 an 满足 a1 1 a2 1 且an an 1 an 2 n 3 这就是著名的斐波那契数列 兔子繁殖问题与斐波那契裴波那契 Fibonaccileonardo 约1170 1250 是意大利著名数学家 他最重要的研究成果是在不定分析和数论方面 他的 裴波那契数列 成为世人们热衷研究的问题 保存至今的裴波那契著作有5部 其中影响最大的是1202年在意大利出版的 算盘书 算盘书 中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的 兔子繁殖问题 如果每对兔子每月繁殖一对子兔 而子兔在出生后第二个月就有生殖能力 试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子 可以这样思考 第一个月后即第二个月时 1对兔子变成了两对兔子 其中一对是它本身 另一对是它生下的幼兔 第三个月时两对兔子变成了三对 其中一对是最初的一对 另一对是它刚生下来的幼兔 第三对是幼兔长成的大兔子 第四个月时 三对兔子变成了 五对 第五个月时 五对兔子变成了八对 这组数可以用图来表示 这组数从三个数开始 每个数是两个数的和 按此方法推算 第六个月是13对兔子 第七个月是21对兔子裴波那契得到一个数列 人们将这个数列前面加上一项1 成为 裴波那契数列 即 1 1 2 3 5 8 13 数列用表示有 在游艺场 可以看到如图的弹子游戏 小球 黑色 向容器内跌落 碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落 碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落 如是 一直下跌 最终小球落入底层 根据具体区域获得奖品 试问 为什么两边区奖品高于中间区奖品 概率三角形 照这样计算第n 1层有n 1个通道 弹子通过各通道的概率将是 与杨辉三角有何关系 2 杨辉三角与弹子游戏 如图 在一块倾斜的木板上 钉上一些正六角形小木块 在它们中间留下一些通道 从上部的漏斗直通到下部的长方形框子 把小弹子倒在漏斗里 它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面 有几个通道就算第几层 以后 再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去 以此类推 算一算 落在每个长方形的框子中的弹子的数目会是多少 你能用学过的排列 组合与概率的知识来解释这一现象吗 你能分析与杨辉三角的关系吗 莱布尼茨分数三角形 纵横路线图 是数学中的一类有趣的问题 如图是某城市的部分街道图 纵横各有五条路 如果从A处走到B处 只能由北到南 由西向东 那么有多少种不同的走法 A B 由此看来 杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 3 杨辉三角与 纵横路线图 杨辉三角与 纵横路线图 纵横路线图 是数学中的一类有趣的问题 图1是某城市的部分街道图 纵横各有五条路 如果从A处走到B处 只能由北到南 由西向东 那么有多少种不同的走法 我们把图顺时针转45度 使A在正上方 B在正下方 然后在交叉点标上相应的杨辉三角数 有趣的是 B处所对应的数 70 正好是答案 70 一般地 每个交点上的杨辉三角数 就是从A到达该点的方法数 由此看来 杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 A B A B 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 5 15 20 15 35 35 70 五 小结 2 杨辉三角蕴含的数字排列规律 1 杨辉三角蕴含的基本性质 杨辉三角的其它规律 杨辉三角与 堆垛术 三角垛 正方垛 将圆弹堆成三角垛 底层是每边n的三角形 向上逐层每边少一个圆弹 顶层是一个圆弹 求总数 第0行1 1 杨辉三角的第2k 1行的各数字特点 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行172135352171 杨辉三角的第2k 1行 k是正整数 的各个数字都是奇数 第0行1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行172135352171 2 杨辉三角中若第P行除去1外 P整除其余的所有数 则行数P是 质数 素数 华罗庚 1910 1985 是一位具有世界声誉的数学家 我国进入世界数学行列最杰出的代表 是中国数学竞赛的创始人 他在数论 典型群 高维数值积分等方面作出了卓越的贡献 撰写了不少高质量专著 论文和科普著作 在他的科普著作 从杨辉三角谈起 中 对杨辉三角的构成 提出了一种有趣的看法 04 上海春季高考 如图 在由二项式系数所构