【导与练】高考数学 试题汇编 第三节 三角恒等变换 理（含解析）.doc

第三节三角恒等变换 利用三角恒等变换求值考向聚焦利用三角恒等变换求三角函数值是常考内容,主要体现在:(1)把三角恒等变换作为工具来解决三角函数问题,即利用两角和与差的三角公式、倍角公式进行三角函数式的化简、求值问题;(2)在题目设置上多出现三角函数公式的正用、逆用、变形用以及特定条件下的使用,以考查学生对公式的掌握,常以客观题的形式出现,属于中档以下题目,所占分值为5分左右备考指津训练题型:(1)三角恒等变换一般解题模式,其中特别要注重遇切弦,化统一,遇多元,想消元,遇差异,想联系,遇特角,想求值等;(2)角的配凑形式,提升思维起点,缩短思维路线1.(2012年山东卷,理7,5分)若4,2,sin 2=378,则sin 等于()(a)35(b)45(c)74(d)34解析:本小题主要考查二倍角公式.4,2,22,cos 2=-1-sin22=-18,cos 2=1-2sin2,sin =1-cos22=34.答案:d.2.(2012年全国大纲卷,理7,5分)已知为第二象限角,sin +cos =33,则cos 2等于()(a)-53(b)-59(c)59(d)53解析:把sin +cos =33两边平方,化为1+2sin cos =13,解得sin 2=-23.又为第二象限角,且sin +cos =330,(90,135),2(180,270),cos 20,cos 2=-1-sin22=-1-(-23)2=-53.答案:a.3.(2012年重庆卷,理5,5分)设tan ,tan 是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(+)的值为()(a)-3(b)-1(c)1(d)3解析:易知tan +tan =3,tan tan =2,故tan (+)=tan+tan1-tantan=31-2=-3.故选a.答案:a.4.(2011年全国新课标卷,理5)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2等于()(a)-45(b)-35(c)35(d)45解析:因为终边在直线y=2x上,所以tan =2,所以cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-41+4=-35.故选b.答案:b.5.(2011年浙江卷,理6)若02,-20,cos(4+)=13,cos(4-2)=33,则cos(+2)等于()(a)33(b)-33(c)539(d)-69解析:02,4+434.cos(4+)=13,sin(4+)=223.又-20,44-22.cos(4-2)=33,sin(4-2)=63,cos(+2)=cos(+4)-(4-2)=cos(+4)cos(4-2)+sin(+4)sin(4-2)=1333+22363=539.故选c.答案:c.6.(2010年全国新课标卷,理9)若cos =-45,是第三象限的角,则1+tan21-tan2等于()(a)-12(b)12(c)2(d)-2解析:法一:cos =2cos22-1,即-45=2cos22-1,cos2=1010.又是第三象限的角,cos =-45-22,2k+54+2k,kz,k+2258+k,kz,tan20,易得tan2=-3,则1+tan21-tan2=1-31+3=-12.故选a.法二:1+tan21-tan2=tan(45+2)=sin(45+2)cos(45+2)=sin2+cos2cos2-sin2=(sin2+cos2)2cos22-sin22=1+sincos,是第三象限的角,且cos =-45,sin =-35,原式=1-35-45=-12,故选a.答案:a.7.(2012年全国大纲卷,理14,5分)当函数y=sin x-3cos x(0x2)取得最大值时,x=.解析:y=sin x-3cos x=2(sin x12-cos x32)=2sin(x-3)(0x2)当y取最大值时,x-3=2,x=56.答案:568.(2012年江苏数学,11,5分)设为锐角,若cos(+6)=45,则sin(2+12)的值为.解析:本题考查三角恒等变形、同角三角函数的基本关系.cos(+6)=45,+6(0,2),sin(+6)=35,sin(2+3)=2cos(+6)sin(+6)=23545=2425,cos(2+3)=2cos2(+6)-1=725,sin(2+12)=sin(2+3)-4=sin(2+3)cos4-cos(2+3)sin4=17250.答案:172509.(2011年江苏卷,7)已知tan(x+4)=2,则tanxtan2x的值为.解析:由tan(x+4)=2得tanx+tan 41-tanxtan 4=2,即tanx+11-tanx=2,tan x=13,tanxtan2x=tanx2tanx1-tan2x=1-tan2x2=1-(13)22=49.答案:4910.(2012年辽宁卷,理17,12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.角a,b,c成等差数列.(1)求cos b的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin asin c的值.解:(1)由a、b、c成等差数列,知2b=a+c,又由a+b+c=180,得b=60,cos b=12.(2)法一:由a,b,c成等比数列知b2=ac,由正弦定理知sin2b=sin asin c,sin asin c=sin260=(32)2=34.法二:由a,b,c成等比数列知b2=ac,cos b=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12,得a=c.又b=60,abc为等边三角形,sin asin c=3232=34. 此题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形,注意角边转化,难度不大,中档.11.(2011年四川卷,理17)已知函数f(x)=sin(x+74)+cos(x-34),xr.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(-)=45,cos(+)=-45,02.求证:f()2-2=0.(1)解:f(x)=sin(x+74)+cos(x-34)=sin xcos 74+cos xsin 74+cos xcos 34+sin xsin 34=2sin x-2cos x=2(22sin x-22cos x)=2sin(x-4),f(x)的最小正周期t=2,最小值为-2.(2)证明:02,0-2,0+0,xr)的最小正周期为10.(1)求的值;(2)设,0,2,f(5+53)=-65,f(5-56)=1617,求cos(+)的值.解:(1)t=10,2=10,=15.(2)由(1)知f(x)=2cos(15x+6),f(5+53)=2cos(+2)=-2sin =-65,有sin =35,f(5-56)=2cos =1617,有cos =817.又、0,2,cos =1-sin2=45,sin =1-cos2=1517,cos(+)=cos cos -sin sin =45817-351517=-1385.15.(2010年天津卷,理17)已知函数f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1(xr).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=65,x04,2,求cos 2x0的值.解:(1)f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6),最小正周期t=22=.f(x)=2sin(2x+6)在区间0,6上单调递增,在区间 6,2上单调递减,且f(0)=1,f(6)=2,f(2)=-1,f(x)在0,2上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)知,f(x0)=2sin(2x0+6)=65,sin(2x0+6)=35,又x04,2,2x0+623,76,cos(2x0+6)=-1-sin2(2x0+6)=-45,cos 2x0=cos(2x0+6)-6=cos(2x0+6)cos 6+sin(2x0+6)sin 6=3-4310.(2011年广东卷,理16,12分)已知函数f(x)=2sin(13x-6),xr.(1)求f(54)的值;(2)设,0,2,f(3+2)=1013,f(3+2)=65,求cos(+)的值.解:(1)f(54)=2sin(1354-6)1分=2sin 42分=2.3分第(1)问赋分细则:(1)直接写f(54)=2sin 4=2不扣分,但建议把代入式子写上;(2)直接写f(54)=2只得1分,扣去2分.(2)由f(3+2)=1013,得2sin13(3+2)-6=2sin =10134分sin =513.5分由f(3+2)=65,得2sin13(3+2)-6=2sin(+2)=2cos =656分cos =357分,0,2,8分cos =1-sin2=1-(513)2=12139分sin =1-cos2=1-(35)2=4510分故cos(+)=cos cos -sin sin 11分=121335-51345=1665.12分第(2)问赋分细则:(1)把第(2)问中f(3+2)=1013转化求得sin =513共得2分,转化f(3+2)=65求得cos =35,再得2