【导与练】高考数学大二轮 专题限时训练 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 文.doc

第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质a组【选题明细表】知识点、方法题号直线的斜率和倾斜角1直线位置关系4、6、11圆的方程5直线与圆、圆与圆的位置关系2、3、7、8、9、10、12直线与圆的综合问题13、14一、选择题1.直线xcos +3y+2=0的倾斜角的范围是(b)(a)6,2)(2,56(b)0,656,）(c)0,56(d)6,56解析:因为直线xcos +3y+2=0,所以直线的斜率k=-cos3.设直线的倾斜角为,则tan =-cos3.又因为-33-cos333,即-33tan 33,所以0,656,).故选b.2.(2012年高考山东卷)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(b)(a)内切(b)相交(c)外切(d)相离解析:本题考查两圆位置关系的判定,易知两圆的圆心距为42+12=17,两圆半径的和为5,半径之差为1,又1175,故两圆相交.3.若直线过点p（-3,-32)且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为(d)(a)3x+4y+15=0(b)x=-3或y=-32(c)x=-3(d)x=-3或3x+4y+15=0解析:若直线的斜率不存在时,则该直线方程为x=-3,代入圆的方程x2+y2=25中,解得y=4,所以该直线被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线的斜率存在,可设该直线的方程为y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0,因为该直线被圆x2+y2=25截得的弦长为8,所以半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线的距离为52-42=|3k-32|k2+1,解得k=-34,此时直线方程为3x+4y+15=0,故选d.4.直线l1在x轴和y轴上的截距分别为3和1,直线l2的方程为x-2y+2=0,则直线l1到l2的角为(b)(a)arctan 17 (b)45(c)135 (d)45或135解析:记直线l1到l2的角是.依题意得,直线l1的斜率为k1=-13,直线l2的斜率为k2=12,则tan =k2-k11+k2k1=1,又0180,因此=45,选b.5.平面直角坐标系中,点集m=(x,y) |x=sin+cos,y=cos-sin,、r,则点集m所覆盖的平面图形的面积为(a)(a)4(b)3(c)2(d)与,有关的值解析:由x=sin+cos,y=cos-sin,消去得(x-sin )2+(y-cos )2=1,该方程表示的是以点(sin ,cos )为圆心,1为半径的圆,并注意到点(sin ,cos )位于以原点为圆心、1为半径的圆上,因此点集m可视为以单位圆上的点为圆心、1为半径的所有圆上的点的集合,易知点集m所覆盖的平面图形的面积等于以2为半径的圆的面积,即等于4,选a.6.已知直线l1的方向向量a=(1,3),直线l2的方向向量b=(-1,k),若直线l2经过点(0,5)且l1l2,则直线l2的方程为(b)(a)x+3y-5=0(b)x+3y-15=0(c)x-3y+5=0(d)x-3y+15=0解析:法一因为l1l2,所以ab=0,所以-1+3k=0,所以k=13,所以b=（-1,13）,所以直线l2的方程为y-5=-13(x-0),整理可得x+3y-15=0.法二直线l1的方向向量为a=(1,3),l1的斜率为k1=31=3,直线l2的方向向量为b=(-1,k),l2的斜率为k2=k-1=-k.l1l2,k1k2=-1,即3(-k)=-1,k=13,则k2=-13,又l2过点(0,5),y-5=-13(x-0),即x+3y-15=0.故选b.7.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xoy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于a、b两点,则弦ab的长等于(b)(a)33(b)23(c)3(d)1解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d=532+42=1.|ab|=2r2-d2=24-1=23.故选b.8.(2012年高考陕西卷)已知圆c:x2+y2-4x=0,l是过点p(3,0)的直线,则(a)(a)l与c相交(b)l与c相切(c)l与c相离(d)以上三个选项均有可能解析:将点p(3,0)的坐标代入圆的方程得32+02-43=9-12=-30对任意xr都成立.x1+x2=41+k2,x1x2=0,|mn|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(41+k2)2-023,即3k2-10,解得-33k33.即k的取值范围是-33,33,故选b.法二(几何法)如图所示,记题中圆的圆心为c(2,3),作cdmn于d,则|cd|=|2k|1+k2,于是有|mn|=2|md|=2|cm|2-|cd|2=24-4k21+k223,即4-4k21+k23,解得-33k33.故选b.二、填空题11.已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为.解析:依题意得2b-a(b-3)=0,即2a+3b=1,2a+3b=(2a+3b)(2a+3b)=13+6(ba+ab)13+62baab=25,当且仅当ba=ab,即a=b=5时取等号,因此2a+3b的最小值是25.答案:2512.两圆交于点a(1,3)和b(m,1),两圆的圆心都在直线x-y+c2=0上,则m+c的值等于.解析:由题意,直线ab与直线x-y+c2=0垂直,且线段ab的中点在x-y+c2=0上,kab=1-3m-1=-1,m=3,1+m2-2+c2=0,c=0,m+c=3.答案:313.(2012年高考天津卷)设m,nr,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点a,与y轴相交于点b,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,o为坐标原点,则aob面积的最小值为.解析:由题意可知m0,n0,如图所示,设l交圆于c、d,连结od,作ohl于h,则|dh|=12|cd|=1,|od|=2,|oh|=3=|-1|m2+n2,即m2+n2=13,又m2+n22|mn|,|mn|16.由l:mx+ny-1=0可得a(1m,0),b(0,1n),saob=12|oa|ob|=12|1m|1n|=12|mn|3.当且仅当m=n时取等号.aob面积的最小值为3.答案:314.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点p(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为.解析:如图所示,连结圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心c(1,1)与点p及两个切点a,b,设apc=,则两切线的夹角为apb=2,|pc|=(3-1)2+(2-1)2=5,sin =15,cos 2=1-2sin2=35.答案:35b组【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定义6、11、14圆锥曲线的方程1、7圆锥曲线的性质2、3、4、5、8圆锥曲线的综合问题9、10、12、13一、选择题1.(2011年高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是(b)(a)y2=-8x(b)y2=8x(c)y2=-4x(d)y2=4x解析:因为抛物线的准线方程为x=-2,所以p2=2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.所以选b.2.(2011年高考湖南卷)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为(c)(a)4(b)3(c)2(d)1解析:双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为3xay=0,与已知方程比较系数得a=2.故选c.3.(2013年高考福建卷)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(b)(a)12(b)22(c)1(d)2解析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0,双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(1,0),顶点到渐近线的距离为22.故选b.4.(2013江西新余高三二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c(c0),左焦点为f,右顶点为a,抛物线y2=158(a+c)x与椭圆交于b、c两点,若四边形abfc是菱形,则椭圆的离心率是(d)(a)815(b)415(c)23(d)12解析:由题意a(a,0),f(-c,0),四边形abfc是菱形,xb=a-c2,代入抛物线方程得yb2=1516(a2-c2),由点b在椭圆上,(a-c2)2a2+15(a2-c2)16b2=1,3a2-8ac+4c2=0,两边除以a2得4e2-8e+3=0,解得e=12或e=32(舍去),故选d.5.若双曲线x2a2-y23=1(a0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为(b)(a)1(b)2(c)3(d)6解析:双曲线的一条渐近线为3x-ay=0,由题意可知,圆心(2,0)到该渐近线的距离为d=22-12=3,即|32-0|3+(-a)2=3,因为a0,解得a=1,所以双曲线的实轴长为2a=2.故选b.6.(2012年高考四川卷)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|=(b)(a)22(b)23(c)4(d)25解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则m到焦点的距离为xm+p2=2+p2=3,p=2,y2=4x.y02=42=8,|om|=4+y02=4+8=23.故选b.7.已知双曲线的渐近线为y=3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为(a)(a)x24-y212=1(b)x212-y24=1(c)x224-y28=1(d)x28-y224=1解析:法一由题意可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由已知条件可得ba=3,c=4,即ba=3,a2+b2=42,a2=4,b2=12,双曲线方程为x24-y212=1,故选a.法二由题意可设双曲线方程为x2-y23=1(0),由于双曲线的焦点为(-4,0)、(4,0),c2=+3=42,=4,双曲线方程为x24-y212=1,故选a.8.(2013四川内江高三二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),f(c,0)是右焦点,经过坐标原点o的直线l与椭圆交于点a、b,且fafb=0,|oa-ob|=2|oa-of|,则该椭圆的离心率为(d)(a)22(b)32(c)2-1(d)3-1解析:fafb=0,fafb,又|oa-ob|=2|oa-of|,根据椭圆关于原点对称,|oa|=|af|=|of|.oaf是等边三角形.设椭圆左焦点f1,连结af1、bf1,根据椭圆的对称性得af1bf是一个矩形,如图所示.在rtaff1中,aff1=2af1f=60,设|af|=t,则|af1|=3t,|f1f|=2t,离心率e=2c2a=|f1f|af|+|af1|=21+3=3-1.选d.9.已知抛物线y2=2px(p0)上一点m(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则实数a的值是(b)(a)125(b)19(c)15(d)13解析:由抛物线的定义可得1+p2=5,p=8,m=4,即m(1,4),a(-a,0),其中双曲线的一条渐近线方程为y=1ax,所以1a=41+a,a=19,故选b.10.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,过右焦点f且斜率为k(k0)的直线与c相交于a,b两点.若af=3fb,则k=(b)(a)1(b)2 (c)3 (d)2解析:如图所示,分别过点a,b作椭圆右准线的垂线段ad,bc,过点b作bead于点e,易得|bc|=|bf|e,|ad|=|af|e,|ae|=|ad|-|bc|=|af|e-|bf|e=2|bf|e,cosbae=|ae|ab|=2|bf|e4|bf|=12e=13,sinbae=23,则k=tanbae=2,故选b.二、填空题11.(2012年高考安徽卷)过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点.若|af|=3,则|bf|=.解析:由题意知,抛物线的焦点f的坐标为(1,0).又|af|=3,由抛物线定义知点a到准线x=-1的距离为3,点a的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知y=22,a(2,22),直线af的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x,解得x=12,y=-2或x=2,y=22.由图知,点b的坐标为(12,-2),|bf|=12-(-1)=32.答案:3212.直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于a,b两点,另一条直线l过点(-2,0)和ab的中点,则直线l在y轴上的截距b的取值范围为.解析:由方程组y=kx+1,x2-y2=1,消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0. 设a,b的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),由于直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于a,b两点,则方程应有两个不大于-1的不等实根,则=(-2k)2+8(1-k2)0,x1+x2=2k1-k20-2k2,-1k1,k1或k-1,故1k2,又由x1+x2=2k1-k2知y1+y2=kx1+kx2+2=k(x1+x2)+2=21-k2,ab的中点为(k1-k2,11-k2).所以直线l的方程为y-011-k2-0=x+2k1-k2+2,即y=x+2-2k2+k+2.令x=0,得b=2-2k2+k+2=1-(k-14)2+1716.1k2,b2.答案:(-,-2-2)(2,+)13.已知抛物线c的顶点在坐标原点,焦点为f(1,0),直线l与抛物线c相交于a,b两点.若ab的中点为(2,2),则直线l的方程为.解