【导与练】高考数学 试题汇编 第二节等差数列 文（含解析）.doc

第二节等差数列 有关等差数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要是以选择、填空题形式考查a1、n、d、an、sn的基本运算问题,即“知三求二”,难度较低,分值占5分左右备考指津要熟记等差数列的通项公式、求和公式,运算时注意方程思想与整体思想的运用1.(2011年大纲全国卷,文6)设sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,sk+2-sk=24,则k等于()(a)8(b)7(c)6(d)5解析:sk+2-sk=ak+2+ak+1=a1+(k+2-1)d+a1+(k+1-1)d=2a1+(2k+1)d=21+(2k+1)2=4k+4=24,k=5.故选d.答案:d.2.(2011年重庆卷,文1)在等差数列an中,a2=2,a3=4,则a10等于()(a)12(b)14(c)16(d)18解析:在等差数列an中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.选d.答案:d.3.(2012年北京卷,文10,5分)已知an为等差数列,sn为其前n项和,若a1=12,s2=a3,则a2=;sn=.解析:设等差数列an的公差为d,s2=a3,2a1+d=a1+2d,a1=d.又a1=12,d=12,a2=a1+d=1,sn=na1+n(n-1)d2=n2+n4.答案:1n2+n44.(2011年天津卷,文11)已知an是等差数列,sn为其前n项和,nn*,若a3=16,s20=20,则s10的值为.解析:设等差数列首项为a1,公差为d,由题意可得a1+2d=1620a1+122019d=20,解得a1=20d=-2,s10=10a1+12109d=1020+12109(-2)=110.答案:1105.(2010年辽宁卷,文14)设sn为等差数列an的前n项和,若s3=3,s6=24,则a9=.解析:设等差数列公差为d,则s3=3a1+322d=3a1+3d=3,即a1+d=1,s6=6a1+652d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8,联立两式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+82=15.答案:156.(2012年湖北卷,文20,13分)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得3a1+3d=-3,a1(a1+d)(a1+2d)=8.解得a1=2,d=-3,或a1=-4,d=3.所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=-3n+7,n=1,2,3n-7,n3.记数列|an|的前n项和为sn.当n=1时,s1=|a1|=4;当n=2时,s2=|a1|+|a2|=5;当n3时,sn=s2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+(n-2)2+(3n-7)2=32n2-112n+10.当n=2时,满足此式.综上,sn=4,n=1,32n2-112n+10,n1.7.(2011年福建卷,文17)已知等差数列an中,a1=1,a3=-3.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和sk=-35,求k的值.解:(1)设等差数列的公差为d,则2d=a3-a1=-4,d=-2,an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(2)由(1)知an=3-2n,sn=n1+(3-2n)2=2n-n2,若sk=-35可得k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,又kn*,故k=7.8.(2010年全国新课标卷,文17)设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an的通项公式;(2)求an的前n项和sn及使得sn最大的序号n的值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得a1+2d=5,a1+9d=-9,可解得a1=9,d=-2.所以数列an的通项公式为an=11-2n(nn*).(2)法一:由(1)知,sn=na1+n(n-1)2d=10n-n2.因为sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,sn取得最大值.法二:由(1)知an=11-2n令an=0得n=5.5,所以a5=1,a6=-1,因为数列an前5项都为正数,从第6项起都是负数,因此sn的最大值是s5,s5=5(a1+a5)2=5(9+1)2=25.故当n=5时,sn取得最大值. (1)本题是通过等差数列的基本量计算求得an的通项公式,这种方法是解决这类问题的最基本的求解方法.(2)在求sn最值时可以同法一利用配方法,但是如果配方之后n不为整数时,要取距离最近的整数如n=3.75时则在n=4处取得最值;若n=7.5,则在n=7或n=8处取得最值;而法二利用an的正负找到数列an的分界点,从而求出sn的最值.9.(2010年浙江卷,文19)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为sn,满足s5s6+15=0.(1)若s5=5,求s6及a1;(2)求d的取值范围.解:(1)由题意知s6=-15s5=-3,a6=s6-s5=-8,所以5a1+10d=5,a1+5d=-8.解得a1=7,d=-3.所以s6=-3,a1=7.(2)因为s5s6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8,所以d28,故d的取值范围为d-22或d22.等差数列性质的应用考向聚焦高考热点内容,多以选择、填空形式考查等差数列的性质,难度低档,分值占5分左右10.(2012年辽宁卷,文4,5分)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于()(a)12(b)16(c)20(d)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qn*),则am+an=ap+aq得,a4+a8=a2+a10=16.故选b.答案:b.11.(2010年重庆卷,文2)在等差数列an中,a1+a9=10,则a5的值为()(a)5(b)6(c)8(d)10解析:在等差数列an中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选a.答案:a.12.(2011年辽宁卷,文15)sn为等差数列an的前n项和,s2=s6,a4=1,则a5=.解析:由s2=s6得a3+a4+a5+a6=0,由等差数列性质a3+a6=a4+a5,2(a4+a5)=0,1+a5=0,a5=-1.答案:-1与等差数列有关的综合问题考向聚焦一般围绕等差数列的通项公式、前n项和公式和有关性质的基本运算,结合函数、方程及不等式等知识综合命题,多以解答题形式出现,难度中低档,分值一般为12分13.(2011年湖北卷,文9)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()(a)1升(b)6766升(c)4744升(d)3733升解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a1,则由已知得a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=3(a1+6d)+(a1+7d)+(a1+8d)=4,解得a1=1322d=766.第5节容积为a1+4d=6766.故选b.答案:b.14.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()(a)和(b)和(c)和(d)和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=201+2+3+(n-1)+201+2+3+(20-n)=20(n-1)n2+(20-n)(21-n)2=202n2-42n+20212=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又nn*,n=10或11.故选d.答案:d.15.(2011年四川卷,文20)已知an是以a为首项,q为公比的等比数列,sn为它的前n项和.(1)当s1,s3,s4成等差数列时,求q的值;(2)当sm,sn,sl成等差数列时,求证:对任意自然数k,am+k,an+k,al+k也成等差数列. 解:(1)由已知an=aqn-1,s1=a,s3=a(1+q+q2),s4=a(1+q+q2+q3).当s1,s3,s4成等差数列时,2s3=s1+s4,2a(1+q+q2)=a+a(1+q+q2+q3),q2-q-1=0,q=152.(2)当q=1时,则an的每项an=a,此时am+k,an+k,al+k显然成等差数列.当q1时,sm,sn,sl成等差数列,a(1-qm)1-q+a(1-ql)1-q=2a(1-qn)1-q,整理得qm+ql=2qn.因此,am+k+al+k=aqm+k-1+aql+k-1=aqk-1(qm+ql)=aqk-12qn=2aqn+k-1=2an+k,am+k,an+k,al+k成等差数列.16.(2010年山东卷,文18)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为sn.(1)求an及sn;(2)令bn=1an2-1(nn*),求数列bn的前n项和tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2