如何判定二元函数的可微性.pdf

如何判定二元函数的可微性 黄激珊 兴义民族师范学院 贵州兴义5 6 2 4 0 0 摘要 判定二元函数的可微性 关键要理解二元函数 连续 偏导数存在 方向导数存在 偏导数存在且连续这四个 概念与可微之间的关系 本文着重分析这四种关系 给出判定 二元函数在某点可微的方法 关键词 二元函数连续偏导数可微方向导数 对于一元函数 可微性比较容易判定 因为一元函数在某 个点连续 可导 可微这i 个概念的关系是很清楚的 可简单 地表示为 可微 可导等连续 而关于二元函数可微性的判定却较复杂 因为二元函数 中连续 偏导数存在 方向导数存在 偏导数连续与可微之间 的关系比较复杂 为了便于学生进一步理解多元函数全微分 的概念 正确判定多元函数的可微性 下面我们通过一些具体 的例子来分析这四种关系 一 二元函数全微分的定义 二元函数z f x y 在点M o o Y 的邻域内有定义 给 0 Y o 以改变量 x A y 得到z 的全改变量 z 0 x y o A y f X o y 0 A x B y o p 删 r i i A B 仅与点 x o y 0 有关 而 qA x y 无关 p VA x A y 则称z 在 x y o 可微 A A x B A y 称为z f i x Y 的全微分 记作 d z A A x B A y 二 二元函数可微的三个必要条件 定理1 若z f x y 在点M x Y 可微 则f x y 在点M o 的 两个偏导数存在 g f X o Y o A f v o Y o B 证明 若z f x y 在点M o 0 y 0 可微 即有 A z A A x B A y o p 当A y 0 时 上式仍成立 此时p l A x l f x o A x Y o 一f x o Y o A A x o I A x l 一 式两边同时取 x 枷时的极限有 l i r af x A x y f x Y 一A I o y 所以偏导数f I x 一 一L V J IU 嘲亓 姒I L x n A r O A x y 0 存在 同理f v 0 y 0 存在 注意 定理1 的逆命题不成立 即 偏导数存在是可微的必 要非充分条件 例如 x y d 未仅 y o L o x y o o 因为孵o t i m 型型攀 0 同理 L o o o 两个偏导数均存在 但l i m 全 二坠 竺全堕竺塑 l i r a 些 删P 删 x 2 y 2 3 不存在 即A z E f i o 0 x 幢 0 O y 不是较p 高阶的无穷小 从而推知f x y 在 0 O 处不可微 由定理I 及全微分的定义可总结出如下两点 I 若f x y 在点M o 的偏导数不存在 则z f x y 在点M o x o Y o 不可微 2 当p 川时 考察A z C q x Y o x f v x y y 是否 为 x A y 的高阶无穷小 若是 则可判断f x y 在点 x Y o i 铆t 若非 则可判断f x y 在点 x Y o 不可微 定理2 若z f i x y 在点M x o Y 可微 9 I I f x y 在点M o 连 续 证明 因为z f x y 在点M o x o y o 可微 所以 A z f x o A x Y o A y f x o Y o l i m A z 0 从而姆f 0 A x y o A y 粤 f X o Y o A z f x 0 Y 故函数z f x y 在点M x o y 0 连续 注意 定理2 的逆定理不成立 即 连续是可微的必要非充 分条件 例如 f x y l x l l y l 芷点 O O 连续 但当y 0 时 o o lim f Ax 0 f 0 0 lim兰堕显然不存在 同理 x 卅 X 一A x 0 0 也不存在 两个偏导数不存在 当然f x y 在点 0 0 处不可微 由定理2 可推知 若z f i x y 在点M X o Y o 不连续 则f x y 在点M 不可微 定理3 若z f x y 在点M o x o y 可微 贝0 f x y 在点M o 处 沿任何方向1 的方向导数存在 且f l x y 0 x y c 0 8 d x o Y o C o S l 3 q c o s a c o s B 为l 的方向余弦 证明 由于函数在M X o y o 可微 则增量可表示为 f x o A x y o A y f x o Y o f x o Y o A x f x o Y o A y o p 等式两边同时除以p 得 f x o A x y o A y f x o y o f x o y 垒q x y 垒 PPP 堕堕 P 从而有 x y o 母堕塑掣 l 删i m f 训垒P f y 讪 等 半 t x o y o C O S a f x o y o C O S p 注意 定理3 的逆定理不成立 即 方向导数存在是可微的 必要非充分条件 I 尝 x Z y 2 o 例如 f x y x 2 v 2 在点 o o 处有C o b x 2 y 2 0 0 1 i mf A x O f O 0 l i m 删 x 0 O 及f 0 r of 0 A y f 0 0 A Y 0 于是由方向导数定义 在 O O 点沿任何方向l 有 f O O O 但酱型型尝型型 l 溜i m P 卅 x 二 堕 尘盐 万方数据 函数极限两个重要定理的教学方法初探 刘金魁I 王开荣2 1 重庆三峡学院数学与计算机科学学院 2 重庆大学数理学院 重庆4 0 0 0 0 摘要 极限的概念和思维方法在高等数学中占有重要 的地位 它贯穿于整个高等数学的始终 本文作者介绍了在计 算函数极限时经常使用的两个重要定理的教学感想 关键词 函数极限无穷小复合函数 1 引言 高等数学是工科院校最重要的基础课程 又是理工科 学生进入大学首先必须接触的课程之一 具有高度抽象性 严密逻辑性和广泛适用性 它既是学习后继课程的基础 又 是对大学生思维习惯和学习方法的训练 而且 中学与大学 的学习方式和思考问题的方法有较大的区别 所以 从中学 升到大学的学生 常常对大学的教学方式感到困惑或难以 适应 因此 高等数学教师就必须承担起让他们尽快从中学 的学习和思维方式转变到大学的学习和思维方式的引导任 务 高等数学的教学就需要从思维习惯和学习方法上加以 改变 教学应以培养分析思维能力 解决实际问题的能力为 主要目标 函数极限是高等数学中最抽象的概念 是高等数学的难 点和重点 高等数学中的许多概念和定理都与极限有关 从连 续到导数 从微积分到级数等都是用极限来定义的 极限贯穿 1 当点 x y 沿直线y x 趋于点 o o 时 D Z 2 当点 x y 沿直线y O 趋于点 0 O 时 0 所以 的极限不存在 即 z 一 o o A x f 0 0 A y 不 是较P 高阶的无穷小 从而推知f x Y 在 0 O 处不可微 三 二元函数可微的一个充分条件 定理4 若z f i x y 在点M o x o Y o 的某一邻域内存在偏导 数 f v 且它们在点M 处连续 9 S z f x y 在点M 可微 证明 由于偏导数在点 x o Y o 连续 0 0 l 0 2 1 h 璎d 0 十加 l i r a1 3 o 珈 v A z f x o A x y o A y 一f x o Y o f x o x y o A y f x o Y o A y f x o Y o A y 一f x o y o f x o O I A x y o A y Z X x f x o Y o 0 2 A y A y E q x o Y o d x 十 f v 0 Y o 1 33A y x o Y o A x f x o Y o A y c t A x 1 3 A y 而1c t A x 3 A yl l 仪l I B l P 所以 z f x o Y o x f x o y 0 A y o p B P f x y 在点M o 可微 注意 定理4 的逆定理不成立 即 偏导数存在且连续是可 微的充分非必要条件 当m 女n r c x 1 f x 2 y x 2 s y i n 三2 土 因为 0 O l i m I 珈 坚垒兰 Q 型Q 里 l i m 垒型 x 2 s i n 土 A x 删 A x 0 同理 0 O o 所以f x y 在 0 O 点的偏导数存在 疯n 毒 x 2 y 2 丢著嘲寿 岬2 o L 0 x y 0 删l i m I x x y l i m 2 x s i n 士一尝c o s 去 高篇x y x Z y x y v 珈v 枷 1 其中l i m2 x s i n 二 0 删x Ox 2 y 2 而l 棚i m 之与c s l l 中 若取路径y 爿 y 叶ox 十yx 十y 显然蜜妻c o s 膏12 磐 c o s 土2 x u 不存在 删l 篇i m f t x y 不存在 因此f x y 在点 O 0 处偏导数存在但不连续 而l i m f A x A y f 0 0 I f 0 0 A x f 0 0 一 A y 高 x 2 v 2 蜀l i m A x e A y e s i n 硫1 却 所 y 桃o 点可微 关于二元函数在某点莲续 偏导数存在 方向导数存在 偏导数存在且连续与可微之间的关系可表述如下图 函数连续 1 r 偏导数存在且连续j 可微j 方向导数存在 U 偏导数存在 四 结语 综上所述 可总结出如下判别f x y 在点 o Y 是否可微 的方法 1 若f x y 在点 0 Y o 不连续 或偏导不存在 则若f x y 在该点必不可微 2 若f x y 在点 x Y 的邻域内偏导存在且连续 则若 f x y 在该点必可微 3 当p 帕时 检验A z f x o Y o x t x 0 Y o y 是否为 V A x A y 的高阶无穷小 若是 则可判断f x y 在点 0 Y o 可微 若非 则可判断f x y 在点 x o Y o 不可微 参考文献 1 同济大学应用数学系 高等数学 第五版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 2 2 华东师范大学数学系 数学分析 下册 M 北京 高 等教育出版社 2 0 0 3 3 刘玉琏 数学分析学习指导书 M 北京 高等教育出 版社 2 0 0 4 0 c 2 y 2 X L 万方数据 如何判定二元函数的可微性如何判定二元函数的可微性 作者 黄激珊 作者单位 兴义良族师范学院 贵州 兴义 562400 刊名 考试周刊 英文刊名 KAOSHI ZHOUKAN 年 卷 期 2010 26 被引用次数 0次 参考文献 3条 参考文献 3条 1 同济大学应用数学系 高等数学 第五版 M 北京 高等教育出版社 2002 2 华东师范大学数学系 数学分析 下册 M 北京 高等教育出版社 2003 3 刘玉琏 数学分析学习指导书 M 北京 高等教育出版社 2004 相似文献 10条 相似文献 10条 1 期刊论文 何鹏 俞文辉 雷敏剑 二元函数连续 可偏导 可微等诸条件间关系的研究 南昌高专学报2005 20 6 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广 二重极限和累次极限 并详细阐明了连续 偏导数存在 可微 偏导连续四 者间的关系 在文章的最后 作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明 2 期刊论文 杨凯 王焕东 二元函数连续 偏导数与可微的关系 沧州师范专科学校学报2007 23 3 一元函数可微与可导等价 可导必连续 但二元函数并非如此 给出了二元函数的连续 偏倒数 可微之间的关系 并给出了简洁全面地证明 3 期刊论文 张德利 郭彩梅 ZHANG De li GUO Cai mei 一类二元函数连续性的等价刻画及在三角模上的应用 模 糊系统与数学2007 21 4 关于二元函数的连续 经典数学分析中有熟知的结果 即 如果二元函数连续 则必关于每个单变量连续 反之 则未必 本文证明对于单调且对称的二 元函数而言 其二元连续等价于单变量连续 并重新定义了三角模的连续 4 期刊论文 樊红云 张宏民 FAN Hong yun ZHANG Hong min 视一元函数为二元函数时的极限与连续 长春师范学 院学报 自然科学版 2006 25 3 本文讨论了视一元函数u x 为二元函数u f x y x 时的极限与连续 5 期刊论文 郭素霞 二元函数连续与其按单变量连续的关系 衡水师专学报2001 3 2 若二元函数连续 则二元函数按每一个单变量必连续 反之 二元函数按每一个单变量都连续 但二元函数不一定连续 而补充某些条件后 二元函数就 连续 6 期刊论文 齐小忠 关于二元函数二阶混合偏导数的注记 许昌学院学报2004 23 2 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f xy x y f x y 与求导次序有无关系时 都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的 本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论 7 期刊论文 张仁华 秦建红 二元函数可微的又一充分性条件及证明 科技信息2009 35 本文对常见教材中二元函数可微的条件进行修改 给出了一个二元函数可微的又一个充分性条件 因而可得二元函数可微的另一个定理 8 期刊论文 闫彦宗 关于二元函数分析性质的讨论 宜宾学院学报2003 6 6 讨论了二元函数的重极限与累次极限 可微性与偏导数的存在性及函数的连续性 重积分与累次积分之间的关系 9 期刊论文 张骞 二元函数全连续和偏连续关系的探讨 太