【导与练】高考数学一轮总复习 第八篇 第4节 双曲线课时训练 文（含解析）新人教版(1).doc

第4节双曲线 【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义1、4、8双曲线的标准方程3、5、9双曲线的几何性质2、10、11、12、13直线与双曲线的位置关系14、16综合应用问题6、7、15一、选择题1.设p是双曲线x216-y220=1上一点,f1,f2分别是双曲线左右两个焦点,若|pf1|=9,则|pf2|等于(b)(a)1(b)17(c)1或17(d)以上答案均不对解析:由双曲线定义|pf1|-|pf2|=8,又|pf1|=9,|pf2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,|pf2|=17.故选b.2.(2013年高考湖北卷)已知00,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线c的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e=ca=2,两式联立得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,方程为x2-y23=1.答案:x2-y23=110.(2013合肥市第三次质检)已知点p是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,f1,f2是该双曲线的两个焦点,pf2f1=2pf1f2,则该双曲线的离心率为.解析:依题意得,线段f1f2是圆x2+y2=a2+b2的一条直径,故f1pf2=90,pf1f2=30,设|pf2|=m,则有|f1f2|=2m,|pf1|=3m,该双曲线的离心率等于|f1f2|pf1|-|pf2|=2m3m-m=3+1.答案:3+111.(2013年高考湖南卷)设f1,f2是双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点.若在c上存在一点p,使pf1pf2,且pf1f2=30,则c的离心率为.解析:设点p在双曲线右支上,由题意,在rtf1pf2中,|f1f2|=2c,pf1f2=30,得|pf2|=c,|pf1|=3c,根据双曲线的定义:|pf1|-|pf2|=2a,(3-1)c=2a,e=ca=23-1=3+1.答案:3+112.设f1、f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点p,满足|pf2|=|f1f2|,且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|pf2|=|f1f2|=2c,|f2m|=2a.在pf2m中,|pf2|2=|f2m|2+|pm|2,而|pm|=12|pf1|,又|pf1|-|pf2|=2a,|pf1|=2a+2c,即|pm|=a+c.|pf2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,ba=43,渐近线方程为y=43x,即4x3y=0.答案:4x3y=013.设点p在双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为f1,f2,若|pf1|=4|pf2|,则双曲线离心率的取值范围是.解析:由双曲线的定义得|pf1|-|pf2|=2a,又|pf1|=4|pf2|,所以4|pf2|-|pf2|=2a,所以|pf2|=23a,|pf1|=83a,所以83ac+a,23ac-a,整理得53ac,所以ca53,即e53,又e1,所以1e53.答案:1e53三、解答题14.已知双曲线x2-y22=1,过点p(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于a、b两点,且点p是线段ab的中点?解:法一设点a(x1,y1),b(x2,y2)在双曲线上,且线段ab的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点p的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由y=kx+1-k,x2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20).x0=x1+x22=k(1-k)2-k2.由题意,得k(1-k)2-k2=1,解得k=2.当k=2时,方程成为2x2-4x+3=0.=16-24=-80,方程没有实数解.不能作一条直线l与双曲线交于a,b两点,且点p(1,1)是线段ab的中点.法二设a(x1,y1),b(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得x12-y122=1,x22-y222=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)2=0,即2-y1-y2x1-x2=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立y=2x-1,x2-y22=1得2x2-4x+3=0,=16-24=-8a0),o为坐标原点,离心率e=2,点m(5,3)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于p,q两点,且opoq=0.求1|op|2+1|oq|2的值.解:(1)e=2,c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为x2a2-y23a2=1,即3x2-y2=3a2.点m(5,3)在双曲线上,15-3=3a2.a2=4.所求双曲线的方程为x24-y212=1.(2)设直线op的方程为y=kx(k0),联立x24-y212=1,得x2=123-k2,y2=12k23-k2,|op|2=x2+y2=12(