【志鸿优化设计】七年级数学下册 第8章 8.1 幂的运算讲解与例题 （新版）沪科版(1).doc

8.1幂的运算1了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算2通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力3了解和体会“特殊一般特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯1同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂如32与35，(5)2与(5)6，(ab)4与(ab)3等表示的都是同底数的幂(2)幂的运算性质1同底数幂相乘，底数不变，指数相加用字母可以表示为：amanamn(m，n都是正整数)(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：amanapamnp(m，n，p是正整数)(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：an与(a)n不是同底数的幂，不能直接用性质不要忽视指数是1的因数或因式【例11】(1)计算x3x2的结果是_；(2)a4(a3)(a)3_.解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3x2x32x5；(2)应先把底数分别是a，a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式a4(a3)(a3)a4a3a3a433a10.答案：(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加【例12】计算：(1)(xy)2(xy)3；(2)(a2b)2(2ba)3.分析：(1)把(xy)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a2b)2可转化为(2ba)2，或者把(2ba)3转化为(a2b)3，就是两个同底数的幂相乘了解：(1)原式(xy)23(xy)5；(2)方法一：原式(2ba)2(2ba)3(2ba)5；方法二：原式(a2b)2(a2b)3(a2b)5.本题应用了整体的数学思想，把(xy)和(a2b)看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数2幂的乘方(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘如(a5)3是指三个a5相乘，读作“a的五次幂的三次方”，即有(a5)3a5a5a5a555a53；(am)n表示n个am相乘，读作“a的m次幂的n次方”，即有(am)namn(m，n都是正整数)(2)幂的运算性质2幂的乘方，底数不变，指数相乘用字母可以表示为：(am)namn(m，n都是正整数)这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘(3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为：(am)npamnp(m，n，p均为正整数)(4)注意(am)n与amn的区别(am)n表示n个am相乘，而amn表示mn个a相乘，例如：(52)352356,52358.因此，(am)namn.【例2】(1)计算(x3)2的结果是()ax5bx6cx8dx9(2)计算3(a3)32(a4)2a_.解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选b；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果3(a3)32(a4)2a3a332a42a3a92a8a3a92a95a9.答案：(1)b(2)5a9防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”如(a4)2a42a6与(a2)3a23a8都是错误的3积的乘方(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方如(2ab)3，(ab)n等(2ab)3(2ab)(2ab)(2ab)(乘方意义)(222)(aaa)(bbb)(乘法交换律、结合律)23a3b3.(ab)nanbn(n为正整数)(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘用字母可以表示为：(ab)nanbn(n是正整数)(3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc)nanbncn(n是正整数)【例3】计算：(1)(2x)3；(2)(xy)2；(3)(xy2)3(x2y)2；(4)4.分析：(1)要注意2x含有2，x两个因数；(2)xy含有三个因数：1，x，y；(3)把xy2看作x与y2的积，把x2y看作1，x2，y的积；(4)ab2c3含有四个因数，a，b2，c3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算解：(1)(2x)3(2)3x38x3；(2)(xy)2(1)2x2y2x2y2；(3)(xy2)3(x2y)2x3(y2)3(1)2(x2)2y2x3y6x4y2x7y8；(4)44a4(b2)4(c3)4a4b8c12.(1)在计算时，把x2与y2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是1的不可忽略负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数4同底数幂的除法(1)幂的运算性质4同底数幂相除，底数不变，指数相减用字母可以表示为：amanamn(a0，m，n都是正整数，且mn)这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差因为零不能作除数，所以底数a0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如amanapamnp(a0，m，n，p为正整数，mnp)【例4】计算：(1)(a)6(a)3；(2)(a1)4(a1)2；(3)(x)7(x3)(x)2.分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数(1)中的底数是a，(2)中的底数是(a1)，(3)中的底数可以是x，也可以是x.解：(1)(a)6(a)3(a)63(a)3a3；(2)(a1)4(a1)2(a1)42(a1)2；(3)方法1：(x)7(x3)(x)2(x)7(x)3(x)2(x)732(x)2x2.方法2：(x)7(x3)(x)2(x7)(x3)x2x732x2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a，b可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式注意指数是“1”的情况，如a5aa51，而不是a50.5零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为：a01(a0)a01的前提是a0，如(x2)01成立的条件是x2.(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数用字母可以表示为：ap(a0，p是正整数)ap的条件是a0，p为正整数，而02等是无意义的当a0时，ap的值一定为正；当a0时，ap的值视p的奇偶性而定，如(2)3，(3)2.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即amanamn(a0，m，n都是整数)如aa2a12a1；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用如a2a3a23a5等【例5】计算：(1)1.6104；(2)(3)3；(3)2；(4)(3.14)0；(5)021.分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据ap(p是正整数，a0)和a01(a0)计算其中(1)题应先求出104的值，再运用乘法性质求出结果解：(1)1.61041.61.60.000 10.000 16.(2)(3)3.(3)22.(4)因为3.141 592 6，所以3.140.故(3.14)01.(5)原式1198.只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即pp.6用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成a10n的形式，其中1a10，n是正整数，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：确定a,1a10，它是将原数小数点向右移动后的结果；确定n，n是正整数，它等于原数化为a后小数点移动的位数(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57105显然大于2.57108，前者是后者的103倍【例61】2009年初甲型h1n1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范研究表明，甲型h1n1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m，用科学记数法表示这个数是()a0.156105 b0.156105c1.56106 d1.56106解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为a10n(1a10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以a、b不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n6，即0.000 001 561.56106.故选c答案：cn的值也等于将原数写成科学记数法a10n时，小数点移动的位数如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.【例62】已知空气的单位体积质量为1.24103 g/cm3,1.24103用小数表示为()a0.000 124 b0.012 4c0.001 24 d0.001 24解析：因为a1.24，n3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.241030.001 24.答案：d本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出103的值，再与1.24相乘得到原数7幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误如：a3a2a6；(a3)2a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘正解：a3a2a5；(a3)2a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误如：a3a32a3；a3a3a6.是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变正解：a3a3a6；a3a32a3.【例71】下列运算正确的是()aa4a5a9ba3a3a33a3c2a43a56a9d(a3)4a7解析：对于a，两者不是同类项，不能合并；对于b，结果应为a9；对于c，结果是正确的；对于d，(a3)4a34a12.故选c答案：c【例72】计算：(2x2y)38(x2)2(x)2(y)6y3.分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(2x2y)38(x2)3y3,8(x2)2(x)2(y)68x4x2y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项解：(2x2y)38(x2)2(x)2(y)6y38(x2)3y38x4x2y6y38x6y38x6y30.8幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单(1)逆用同底数幂的乘法性质：amnaman(m，n为正整数)如252322224.当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数(2)逆用幂的乘方性质：amn(am)n(an)m(m，n均为正整数)逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式如x6(x2)3(x3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析(3)逆用积的乘方性质：anbn(ab)n(n为正整数)当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变(4)逆用同底数幂的除法性质：amnaman(a0，m，n为整数)当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数【例81】(1)已知3a2,3b6，则33a2b的值为_；(2)若mp，m2q7，mr，则m3p4q2r的值为_解析：(1)因为3a2,3b6，所以33a2b33a32b(3a)3(3b)22362.(2)m3p4q2r(mp)3(m2q)2(mr)23722.答案：(1)(2)【例82】(1)计算：2 01122 01224 024；(2)已知10x2,10y3，求103x2y的值分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x2y化为条件中的形式解：(1)原式2 01122 012(22)2 012(逆用幂的乘方)2 011(222)2 012(逆用积的乘方)2 01182 0122 01182 0118(逆用同底数幂的乘法)2 0118(逆用积的乘方)8.(2)因为103x(10x)3238,102y(10y)2329，所以103x2y103x102y8972.9利用幂的运算性质比较大小在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能这时可利用幂的运算性质比较幂的大小比较幂的大小，一般有以下几种方法：(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小(3)作商比较法：当a0，b0时，利用“若1，则ab；若1，则ab；若1，则ab”比较有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等【例9】(1)已知a8131，b2741，c961，则a，b，c的大小关系是()aabcbacbcabc dbca(2)350,440,530的大小关系是()a350440530 b530350440c530440350 d440530350(3)已知p，q，那么p，q的大小关系是()apq bpqcpq d无法比较解析：(1)因为a8131(34)313124，b2741(33)413123，c961(32)613122，又124123122，所以312431233122，即abc.故选a(2)因为350(35)1024310,440(44)1025610,530(53)1012510，而125243256，所以125102431025610，即530350440.故选b(3)因为1，所以pq.故选b答案：(1)a(2)b(3)b10幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较