数学美欣赏 1.捆绑立方体 2.有趣的等式 3.算术的基因和基理.doc

数学美欣赏第9讲1. 捆绑立方体若把橡皮筋套在一个立方体的顶点的近旁， 使此橡皮筋成一个三角形，那么只要一松手，则橡皮筋会向的方向滑过去而脱落. 再看与此立方体的一个面平行的平面, 它截得的正方形若是橡皮筋，我们将它弄成不与立方体的面平行，它仍然会凭它的“收缩成面积最小的特性”而恢复成一个与该立方体的面平行的正方形. 可见, 与立方体的面平行的正方形是稳定的捆绑. 上述这种与立方体的面平行的正方形橡皮筋共三族，每个面上有两族橡皮筋垂直地分布于该面上. 在立方体表面上的每个点处, 都通过两条稳定(最牢靠)捆绑的橡皮筋. 除此之外，是否还可能有牢靠捆绑的橡皮筋呢? 有! 设一个立方体的棱长为. 考虑其表面上的六边形, 并设其六边分别在立方体的六个面上. 若是一条橡皮筋且是稳定的捆绑，则其长度将在弹力作用下变为最短. 考虑立方体的侧面展开图. 由于达到了最短, 故、共线. 于是, 直线与夹角, 六边形的各边与所在面上的一条对角线平行. 这些对角线组成了展开图中的两条平行虚线, 它们是的两个极端位置. 对应在正方体上，这两个极端位置是和. 显然, 六边形的周长为(正方体的一个面的对角线长度的倍). 另外, , , , , , 且是每个角都是的平面六边形, 它所在的平面平行于平面和平面. 稳定的捆绑的位置是可变的, 它所在的平面可以平行于平面而在平面和平面之间平移(但的周长始终保持为常数), 而各边也在自身所在的面内平移且保持平行于同一条对角线. 在平面展开图上, 两条虚线之间的带状区域被缠绕在立方体上(三棱锥以外的各面上). 若把稳定捆绑的六边形的各边延长，则可形成两个中心重合且对应边平行的正三角形, 它们所围成的区域的公共部分的边界即六边形. 一共有四族捆绑六边形，每族所在的平面互相平行，且平行于立方体的三个面上的三条对角线. 这四族捆绑线和开头讲的三族捆绑线（平行于立方体的面）合起来, 共有七族捆绑线. 在立方体的表面上的每一点处, 恰有四条捆绑线通过. 于是, 在立方体的表面上，共编织了四层捆绑线.若要把棉纱绕在一个立方体上且不致使棉纱松脱，则应垂直于立方体的棱缠绕或缠在三棱锥以外的表面上，每圈线与所在的平面平行. 共有七种缠绕方式. 用垂直于棱的方式(三种)缠了两层之后改用平行于等三角形的方式(四种)再缠两层，以后周期性地重复进行，则可缠绕成一个十分别致而结实的线团.2. 有趣的等式1.道理：以为例. 2. 道理:余类推. 若把换成的其它倍数, 如, , 等, 可以得到类似的等式.3. 道理: 可直接验证第一式(即的分解式. 这是构造其余各式的关键和基础). 由第一式的若干倍即可得其余各式.4. 改写上述等式组，得到类似地可得:仿以上两例, 可由以下各式中的每一个构造类似的等式组.5.道理: , 于是,.余类推.3. 算术的基因和基理算术四则运算，人人都有体会，那就是加减法简单，乘法也不太难. 唯独除法里“事儿”多，除得尽还好，除不尽还要考虑约分与余数，等等，花样不少. 因为, 所以. 但是, , 所以. 当然, 还可以写成, 但与相比, 因数20还可以再分解: , 而4也可以再分解: , 因此, 分解式不如简单, 因为和已经不能再分解了(除了和这种没有什么“新意”的分解). 除了与自身外，用别的自然数除不尽的自然数，是最简单、最朴素的了，我们称这种数为素数(朴素的素)或质数(质朴的质). 比如, 、等都是素数. 注意: 是最小的素数. 当然, 也是具有这类性质的数，但大家约定不称为素数. 因为如果让取得素数的资格，则可以写成，前面爱写几个就写几个，这就很不妙, 因为这样一来, 一个自然数写成素数之积的形式时，表达式就不唯一了. 经验表明，如果不让参加，一个自然数若不是素数，例如、什么的，则该自然数可以唯一地写成若干素数的积(不计因数的顺序)，这一结论也可以用数学归纳法证明，这就是著名的算术基本定理. 大于的不是素数的自然数称为合数，即由若干素数相乘而成的数. 例如，. 注意, 既不是素数也不是合数.素数是合数的基因. 任给大于的自然数，存在唯一的素数列， 使可以唯一地写成，此定理即算术基本定理. 例如,.这里, 上面说的素数列即, , , , , , . 算术中的很多证明，尤其是涉及除法时，主要靠这条结论去说理.上面说的素数列, , , 中的素数可以彼此相同. 如. 如果把相同的素数因数合并, 写成, 则形式上就更简练了.一般地, 任何大于的自然数(的标准分解式)，其中是素数列, 而, , , .虽然在理论上，任何自然数都可以写成标准分解式, 但当很大时，具体写出的标准分解式来却是很不容易的事,有时甚至连的一个素因数也找不出来例如, 人们已经证明(共位)是两个不同素数的乘积，其中较小的一个至少有位，但我们至今还不知道这两个素因数是什么又例如, 1958年，人们就知道的最小素因数, 但至今我们并不知道的其他素因数是一个超过位的自然数, 而则是一个有位的素数.设是合数, 则显然的最小素因子不超过. 于是, 是合数是不超过的某个素数的至少倍. 因此, 欲求不超过一个自然数的一切素数， 只需把, , ，中的不超过的素数的倍数划去(筛除)，剩下的就是素数. 这种方法是希腊的埃拉托色尼(Eratosthenes)发明的, 称为埃氏筛法. 早在公元前三百年左右，埃氏就提出了这一方法素数表都是根据这一方法略加变化而造出来的埃氏筛法的改进与发展，是近代解析数论的重要工具之一1909年，莱茉发表了不超过的素数表在表中, 凡不超过而又不能被，整除的自然数，它的最小素因数都被列了出来还有居立刻(J. F. Kulik，17931863)，他曾造出不超过的素数表，他的手稿存放于维也纳科学院内1951年，居立刻(J. P. Kulik)、波来梯与波尔特曾发表了不超过的素数表，即在莱茉氏表的基础上增加了由至之间的所有素数他们在造表过程中，用了居立刻(J. F. Kulik)的手稿自从有了电子计算机后， 比上述素数表大得多的素数表被制作出来了1959年，贝克尔与格伦贝尔格制成含有不超过的全体素数(共个素数)的微型卡片六十年代初，美国学者就曾宣称，他们将在电子计算机的存储系统中存放前个素数我们以为例，说明筛法的操作如下. 因, 所以, 只需考虑在, , , , 中划去、的倍数，剩下的数就是不超过的一切素数.首先划掉的倍数:在剩下的数中, 再划掉的倍数:最后, 在剩下的数中, 划掉的倍数:显然，用这种方法只能写出的自然数中的素数的清单，后面的自然数中还有不少素数，例如之后的就是一个素数. 欧几里得第一个证明，素数的个数是无穷的. 素数是算术中的基因，几乎所有的算术命题中，都有素数参与其中. 有关素数的命题集中了算术学科的难点. 广为人知的难题很多，例如下面的两个就是算术中的难题的代表. (1)关于孪生素数的黎曼猜想：孪生素数有无穷对. 所谓孪生素数，即相差为的一对素数. 例如，等等. 很久以前，人们就问：孪生素数对是否有无穷多？但至今人们还不能回答这个问题. 人们积累了很多宝贵的资料说明，似乎应该有无穷多对孪生素数这就叫做孪生素数猜想例如, 已知小于的自然数中，有对孪生素数，小于时，有对孪生素数，而小于时，共有对孪生素数目前所知道的最大的孪生素数对是：，. (2)哥德巴赫猜想 1742年6月7日，圣彼得堡中学教师、德国人哥德巴赫(Goldbach)给瑞士数学家欧拉写信, 提出如下猜想：a. 每个大于或等于的偶数都是两个奇素数之和；b. 每个大于或等于的奇数都是三个奇素数之和.例如, , , , , , . , , , , , .容易知道, 命题b为命题a的推论. 因此, 命题a是最本质的.两个奇素数之和当然是偶数，但是, 事情让哥德巴赫反过来一提，可就给数学界惹来了天大的麻烦! 欧拉给哥德巴赫的回函中说：“我不能证明它，但是我相信这是一条正确的定理.”欧拉无能为力的问题，别人怕是很难解决了. 在其后的多年当中，多少专业的和业余的数论工作者，都兴趣盎然地冲击这一看似真实的命题，无奈人人不得正果. 年，数学界的领袖人物希尔伯特(Hilbert)在巴黎召开的世界数学家大会上, 向二十世纪的数学家提出了二十三个待解决的名题，其中哥德巴赫猜想列为第八问题. 可惜二十世纪的百年奋斗仍然辜负了希尔伯特的期望.从哥德巴赫写信起到今天，已经积累了不少关于该问题的宝贵资料 例如皮平(NPipping)核对过，当偶数时，命题a是正确的以后，申氏又进一步核对了，当偶数时，命题a都是对的但是至今我们还不能确定这两个命题的真假1921年，哈代(GHHardy)在哥本哈根召开的数学会上说过，命题a的困难程度是可以和任何没有解决的数学问题相比的近几十年来， 哥德巴赫问题吸引了世界上很多著名数学家来研究它取得了很好的成绩研究哥德巴赫问题产生的研究方法, 不仅对数论有广泛的应用，而且也可以用到不少其它数学分支中去. 我国著名数学家华罗庚早在三十年代就开始研究这一问题，并得到了重要成果解放后，在他的倡议与领导下，我国青年数学工作者，从五十年代初，就开始研究这一问题，他的学生们不断得到重要成果，获得国内外的高度评价，特别是陈景润的