常微分方程期末试卷(A).doc

广西师范大学漓江学院试卷（2008 2009 学年第二学期）课程名称：常微分方程 课程序号： 开课院系：理学系任课教师：陈迪三 年级、专业：07数学 考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 开卷 试卷类型：A卷 B卷 得 分评卷人一、 填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分) .1、方程有积分因子的充要条件为.2、连续是保证对满足利普希茨条件的 充分条件 条件3、函数组的朗斯基行列式值为 4、若是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们 无 (有或无)共同零点 5、若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么常系数线性方程组的一个基解矩阵=.得 分评卷人二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)1、形如的方程是（ D ）.A欧拉方程 B贝塞尔方程 C黎卡尔方程 D伯努力方程 2、设连续，是在上的两个线性无关解，且，则（ A ）. （A） （B） （C） （D） 3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（ C ） （A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间 （C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间 4、如果，都在平面上连续，而且有界，则方程 的任一解的存在区间（ A ） （A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定 5、若是齐次线性方程组的一个基解矩阵，为非奇异常数矩阵，那么是否还是此方程组的基解矩阵（ B ）. (A) 不是 (B) 是 (C) 也许是 (D) 也许不是得 分评卷人三、 计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的通解) .得分1、 ； 1、解：将方程变为 .（2分） 则有 .（1分）从而得 (为任意的常数） （3分）2、 ；解：由于，所以原方程是恰当方程 （2分 ） 假设存在使得它同时满足方程： 和 （1分 ） 则有且，所以 （2分 ），即原方程的通解为： .（1分）3、 ； 解：齐次方程的特征方程为 齐次方程的通解为 （2分） 令 ，并求其特解如下：由于是单根，故设特解为 代入原方程比较系数得 所以 则原方程有特解 （3分） 故原方程的通解为 （1分）4、 ；解：令方程的解为，代入原方程有 （3分） 于是（二重）（1分）故原方程的通解为 （2分）得 分评卷人四、 解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)(写出解题的详细步骤) .得分（1）设函数连续且满足，求.解：两边关于求一阶导数，有 （2分） 两边关于再求一阶导数，得 （2分）即 而且 （1分）而方程的解表示为 （3分）由，可得 （2分）（2） 求方程组满足初始条件的解.解：方程组的特征方程为，所以特征根为（二重） （2分）对应齐次方程组的基解矩阵 （3分）满足初始条件的特解 （2分） （3分）得 分评卷人五、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分)(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后) .1、假设是二阶齐次线性方程的解，其中在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：，其中为常数, .证：（） （6分）（）因为为方程的解，则由刘维尔公式 （3分） 两边都乘以则有：，于是： （4分）2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数.证明：因为方程的任意两个解 所以， （4分）于是构成的伏朗斯基行列式 （5分）由于和是方程的解，因此，所以，故 （4分）学 号： 姓 名： 所属院系： 年