【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质教学案 理 新人教A版 .doc

4.4函数yasin(x)的图象与性质1了解函数yasin(x)的物理意义；能画出函数yasin(x)的图象；了解参数a，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题1yasin(x)的有关概念yasin(x)(a0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相at_f_x2.用五点法画yasin(x)一个周期内的简图用五点法画yasin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x_x02yasin(x)0a0a03.函数ysin x的图象变换得到yasin(x)(a0，0)的图象的步骤1把ysinx的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到ysin x的图象，则的值为()a1 b4 c d22已知函数f(x)2sin(x)(其中0，|)的最小正周期是，且f(0)，则()a， b，c2， d2，3(2012安徽高考)要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos 2x的图象()a向左平移1个单位b向右平移1个单位c向左平移个单位d向右平移个单位4已知函数f(x)2sin的图象如图所示，则f_.5(2012湖南高考)已知函数f(x)asin(x)(xr，0，0)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)ff的单调递增区间一、三角函数yasin(x)的图象【例1】 设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到方法提炼1用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为yasin(x)(a0，0)或yacos(x)(a0，0)的形式；求出周期t；求出振幅a；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点2图象变换法(1)平移变换沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按“上加下减”法则(2)伸缩变换沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)或缩短(1)为原来的倍(纵坐标y不变)；沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(a1)或缩短(0a1)为原来的a倍(横坐标x不变)请做演练巩固提升2,3二、求函数yasin(x)b的解析式【例21】 已知函数f(x)asin(x)b(0，|)的图象的一部分如图所示：(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程【例22】 已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间方法提炼确定yasin(x)b(a0，0)的解析式的步骤：1求a，b，确定函数的最大值m和最小值m，则a，b.2求，确定函数的周期t，则.3求，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时a，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.请做演练巩固提升4三、三角函数模型的应用【例3】 已知某海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yacos tb.(1)根据以上数据，求函数yacos tb的最小正周期t，振幅a及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模请做演练巩固提升5不理解相位变换而致误【典例】 (2012天津高考)将函数f(x)sin x(其中0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()a. b1 c. d2解析：f(x)sin x的图象向右平移个单位长度得：ysin.又所得图象过点，sin0.sin0.k(kz)2k(kz)0，的最小值为2.答案：d答题指导：要熟练掌握“先平移再伸缩”和“先伸缩再平移”这两种变换方案即前者平移|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误1设函数f(x)asin(x)的图象关于直线x对称，它的周期是，则下列结论一定正确的是()af(x)的最大值为abf(x)的一个对称中心是点cf(x)的图象过点df(x)在上是减函数2(2013届山师大附中期中)为得到函数ycos 2x的图象，只需将函数ysin 2x的图象()a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位3(2012浙江高考)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()4(2012重庆高考)设函数f(x)asin(x)(其中a0，0，)在x处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的值域5如图，某市拟在长为8 km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数yasin x(a0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为s(3,2)；赛道的后一部分为折线段mnp.为保证参赛运动员的安全，限定mnp120.(1)求a，的值和m，p两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？参考答案基础梳理自测知识梳理12 3|aa基础自测1c解析：ysin xysinsinx，.2d解析：由题意得2，f(x)2sin(2x)，又f(0)，即2sin ，sin ，|，故选d.3c解析：ycos(2x1)cos，只须将ycos 2x的图象向左平移个单位即可得到ycos(2x1)的图象40解析：由图象知t，所以t.所以3.所以f(x)2sin.故f2sin0.5解：(1)由题设图象知，周期t2，所以2，因为点在函数图象上，所以asin0，即sin0.又因为0，所以，从而，即.又点(0,1)在函数图象上，所以asin 1，得a2.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，得kxk，kz，所以函数g(x)的单调递增区间是，kz.考点探究突破【例1】 解：(1)f(x)sin xcos x22sin.又t，即2.f(x)2sin.函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)列出下表，并描点画出图象如图.2x02xy2sin02020(3)把ysin x图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到ysin的图象，然后把ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象【例21】 解：(1)由图象可知，函数的最大值m3，最小值m1，则a2，b1.又t2，2，f(x)2sin(2x)1.将x，y3代入上式，得sin1，2k，kz，即2k，kz，又|，f(x)2sin1.(2)由2xk(kz)，得xk，kz，f(x)2sin1的对称轴方程为：xk，kz.【例22】 解：(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为偶函数，所以对xr，f(x)f(x)恒成立，因此sinsin，即sin xcoscos xsinsin xcoscos xsin，整理得sin xcos0.因为0，且xr，所以cos0.又因为0，故.所以f(x)2sin2cos x.由题意得2，所以2.故f(x)2cos 2x.因此f2cos .(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象所以g(x)f2cos2cos.当2k2x2k(kz)，即kxk(kz)时，g(x)单调递减因此g(x)的单调递减区间为(kz)【例3】 解：(1)由表中数据，知周期t12，.由t0，y1.5，得ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0，a0.5，b1，振幅为，ycost1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，cost11，cost0，2kt2k，kz，即12k3t12k3，kz.0t24，故可令中的k分别为0,1,2，得0t3，或9t15，或21t24.在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即9：00至15：00.演练巩固提升1b2c解析：因为ysin 2xcoscoscos，所以为了得到函数ycos 2x的图象，只需将函数ysin 2x的图象向左平移个单位，选c.3a解析：ycos 2x1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1cos x1，再向左平移1个单位长度得y2cos(x1)1，再向下平移1个单位长度得y3cos(x1)，故相应图象为a.4解：(1)由题设条件知f(x)的周期t，即，解得2.因f(x)在x处取得最大值2，所以a2.从而sin1，所以2k，kz.又由得.故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)g(x)cos2x1.因cos2x0,1，且cos2x，故g(x)的值域为.5解：解法一：(1)连接mp.依题意，有a2，3，又t，y2sinx，当x4时，y2sin3，m(4,3)，又p(8,0)，mp5.(2)在mnp中，mnp120，mp5.设pmn，则060.由正弦定理得.npsin ，mn