对一道数学质检题的讨论.pdf

嚣 4 馁观 琵 铯 霓 9 中学数学杂志2 0 1 4年第 7期 e 的存在性问题 若借鉴题 1 的解法 函数 e 2 x 口 有零点 j 方程 e 一2 n 0 有实根 函数 Y e 与 Y 2 x o图像有交点 借图 2 分析可得 若直线 l y 2 x一口 0 与Y e 相切于F x 0 Y 利用导数 可求其切点 P 的坐标 不难求得是 1 n 2 2 此时 一口 0 2 2 1 n 2 得 口 0 一 2 2 l 2 图 2 根据图2 可以判断只要在 Y轴上的截距 一口 一 口 就可得两函数图像必然有公 共点 即 口 2 1 n 2 2为所求 类似文 2 中二次 函数在有 限开区间内的零点 问题 高考常有所考查 也可 以利用上述的思路解答 有兴趣的读者可以研究 2 0 0 9年全国高等学校招生统 一 考试数学浙江卷理科第 2 2 题第 I 问的具体的解 题过程 在此不作赘述 3 更 上一层楼 零点问题是高考的热点问题 常出现于涉及利用 函数的导数研究单调性的问题中 是每年的必考知识 点 要确定区间上导 函数的正负 则导函数的零点是 关键 而有时导函数对应的方程是一个超越方程 高 中生的知识能力水平 非常规方程 的根求而不得 这 种 隐零点 问题 可以单独作为一种重要 的函数零 点的问题类型 隐零点 问题常规 的处理方式是 一 阶求导求不到 借高阶研究 或者是设而不求 适时回 代 笔者选例 2 0 1 3年普通高等学校招生统一考试新课 标 卷数学理2 l 题 问 已知 函数 e 一 I n m 当 m 2时 证明 0 解答如下 当m 2 一m o 时 I n m I n 2 故只需证明当 m 2时 0 1 当m 2 时 函数 e 一 在 一 2 1 二 上单调递增 又厂 一1 0 故厂 0 在 一2 有唯一实根 一1 0 当 一2 0 时 O 从而当 时 取得最小值 1 由 此得e l n 0 2 一 0 故 0十 1 o o 2 一2 0 Xo t二 综上可证明 当 m 2时 厂 0 简评 导函数存在零点即方程存在实根 但是无 法求解出 故先暂且设而不求 等到求最值时 代入替 换达到预期的证明效果 零点是函数部分 的常考知识点 厘清问题类型 针对性突破 使解题有的放矢 但也不可思维定势 限 制了学生数学思维的灵活性 高考注重对学生数学思 维能力的综合考查 学生只有通过解题后反思 探究 总结 才能对知识点理解透彻 方法掌握灵活 解题融 会贯通 智能获得提升 从而获得处理问题的数学思 想 提高思维的严密性 灵活性和创造性 参考文献 1 梁建 零点问题的类型及解决方法 J 中学数学 上 2 0 1 4 3 4 5 4 6 2 杨华 二次函数在有限开的区间内有零点的条件 J 中学数学教学参考 上旬 2 0 1 3 6 4 4 4 5 作者简介卫小国 男 1 9 7 9年 1月生 湖北武汉人 中 学一级教师 主要研 究解题教学 自主招生试题解法和高中 数 学建模 对 一道数 学质检 题 的讨论 山东省济宁市实验 中学 2 7 2 0 0 0 苗相军王广燕 一 道好的数学习题 不仅要 自然简明 还要寓 意深刻 一道好的数学习题 能够培养学生发现问题 及解决问题的能力 近期 济宁市高中数学质量检测 中有一道优秀的试题 本文就这道数学质检题做一 点有意义的讨论 2 1 2 题 目 已知椭 圆E L 口 过 r 2 1 b 0 点 A 1 离心率 e 点 B 0 6 二 I 求椭 圆 E的方程 设点 C是椭 圆E上任意一点 求线段B C长 度的最大值 并写出此时点 C的坐标 设点 D是椭 圆 E上一点 异于点 日 过 D 作椭圆的切线 z 寻求所有的点 D 使直线 B D j z 中学数学杂志2 0 1 4年第 7期 羁 垣1 6 琶 6 鼢6 嚣隽羁 9 解 I 椭圆 E的方程为 1 I I 设点 c x Y 则 4 4 y B O 1 则 线 段 B C 的 长 度 l B C l 二 厂 一 其中Y 一1 1 当Y 一 1时 I B C l 竽 此 时 c 竽 一 了1 1 1 设点 D x Y 显然 Y b 0 而 言 问题 中的点 D有哪些 设点D y 显然 2 6 z 或 时 点 D 的坐标 a 2 一2 b 一b I i 一 I 口 一 6 0 一 6 J 当 a 2 b 或 e 时 0 0 当口 2 b 或 e 时 X o 不存在 综上所述 当 e 4 时 符合条件 的点有 3个 分别是 JD 2 2 D o 一 6 a 一 b a 一 b 讨论 2 从 问题 U 答案 可以看出 线段 B C 长度的最大值似乎与B C上1 有联系 这种联系是 什么呢 设点 C x y 是函数 y 一 图象上任 意一点 B C的长度 l B C 1 3 x 2 v 2 一 2 2 容易发现 1 B c I 在区间 一2 一 竽 上 是 增 函 数 在 区 间 一 竽 0 竽 2 上是减函数 所以 在 r 处取得极大 最 大 值 在 0 处取得极小值 而在此时都有 B C j 1 由此 可以猜想并证得 定 理 1 如 图 1 设 点 C x Y 是函数 Y 图象 F 上任意一点 过点 c作图象 F 的切线 Z 定点 B a b 不在 函 数 图象 F上 当线段 B C的长度 I B C I g 取得极大 小 值 时 则 B C J f 图 1 证明 因 为1 B c 1 g 一 一 6 所以 g a 厂 一b 当线段B C的长度取得极大 小 值时 g 0 所以 一a 一6 厂 0 又直线 B C的方向向量 J l 一a 一b 切线 Z 的方向向量 l 1 式 表明J l 上 l 所 以 B C 上 1 讨论 3 现在考虑问题 的一种推广 两个定点的 情况 45 对 O 而 一 一 当 一 一一一 l一 3 一 一 3 置 露 毽 毛 9 中学数学杂志2 0 1 4年第 7 期 应用光学反射定律 可 以猜想并证得 定理 2 如 图 2 设 点 C Y 是函数 Y 厂 图象 F 上任意一点 过点 C作 图象 F 的切线 f 及法线 两定点A 口 b B m n 不在图象 F上 当 线段 A C B C长度之和 I A CI l B Cl g 取得极大 小 值 时 口 图 2 证 明 因 为 l A C l l 曰 c I g 所以g 二 2 2 二 二 2二 2 兰 r几 一n 当 g 取得极大 小 值时 g 0 所 以 兰 0 一位 0 一b 二 二 o 0 一m 0 一n 由于C A n 0 b一 0 C B 札一 0 一 切线 z 的方 向向量 l 1 于是 c o s c o s 嚣 一 i 结 合 得 c s 4 一 c s 卢 0 从而 c s c o s l 弓 所 以 0 讨论 4 当两个动点分别位于两条 曲线上时 结 果 又如何呢 定理 3 如 图 3 设 点 日 口 b 是函数 Y 图 象 F 上任意一点 过点 作 图象 F 的切线 z 点 c m n 是函数 Y A 图象 F 上任 意一点 假设 与 没有交点 当线段 B C长度 图 3 I B C i u a m 取得极大 小 值时 则B C上z B C 上 Z 2 证 明 因 为 I B C l 口 m 0一m 口 L m 所以 d 口 口一 m 0 一 m a u 一 0一m 一 口 一 厂 2 m 厂 m d n 口一m 口 一 A m 当 口 m 取得极大 小 值时 n 0 m 0 0 0 0 mo 0 由于 C m 一 n m 一 口 切线 Z 的 方向向量为 l 1 n 切线 z 的方向向量为 l 2 1 2 m 0 结合 得曰 上 l C上 l 所以 BC 上 Z l BC 上 Z 2 讨论 5 最后给出一个定点与一个曲面上 的动点 情形及分别位于两个曲面上两个动点的情形 定理 4如图 4 在空间 直角坐 标 系 0 一x y z中 点 C Y z 是 曲面 E z A Y 上任意一点 过点 c作 曲 面 E的切平面 定点 口 b c 不在曲面 E上 当线段 B C长度 I B C I Y 取得 极大 小 值时 则 B C j 证明 因为 l B C I u x Y 图 4 一0 Y b Y 一C 所 以 O u O x 一口 y 一c a M Y b Y 一C a y 一血 Y b A Y 一 c 当 Y 取得极大 小 值时 o Y 0 0 o Y 0 0 4 由于B C 0 一a Y 0 一b 0 Y 0 一c J I 1 0 是对 轴切线的方向向量 l 0 1 Z y 是对 Y 轴切线的方 向向量 由 可得B C上m B C上 l 所 以 BC J 仅 定理 5 在空间直角坐标系 0一x y z 中 点 口 b C 是曲面 E z Y 上任意一点 过 作曲面 E 1 的切平面 点 C m n