【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4．5三角恒等变换教学案 理 新人教A版 .doc

4.5三角恒等变换1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦sin()_两角和与差的余弦cos()_两角和与差的正切tan()_2二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin 2_二倍角的余弦cos 2_二倍角的正切tan 2_3半角公式4形如asin bcos 的化简asin bcos sin()，其中cos _，sin _，即tan .1(2012重庆高考)()a bc d2化简的结果是()acos 1 bcos 1ccos 1 dcos 13若sina，则cos等于()aa bac1a d1a4函数f(x)2sin x2cos x的值域是_5若2 013，则tan 2_.一、两角和与差的三角函数公式的应用【例11】 在abc中，角c120，tan atan b，则tan atan b的值为()a b c d【例12】化简：.方法提炼1运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等2应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用提醒：在t()与t()中，都不等于k(kz)，即保证tan ，tan ，tan()都有意义；若，中有一角是k(kz)，可利用诱导公式化简请做演练巩固提升2二、角的变换【例21】已知sin，则sin 2x_.【例22】已知0，cos，sin，求sin()的值方法提炼1当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3常见的配角技巧：2；()；()；()()；()()；.注意：特殊的角也看成已知角，如.请做演练巩固提升3三、三角函数式的化简、求值【例31】化简：(2)【例32】已知，tan ，求的值方法提炼1三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等2三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的请做演练巩固提升5四、三角恒等式的证明【例41】求证：sin 2.【例42】已知0，0，且3sin sin(2)，4tan1tan2，证明：.方法提炼1证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证2三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径常用代入法、消元法、两头凑等方法请做演练巩固提升6对角的范围讨论不准确而致误【典例】 若tan()，tan ，且，(0，)，求2的值错解：tan tan()，所以tan 2，所以tan(2)1.由题设知tan 2，得02.又0，所以2，故2或2.正解：tan tan()，所以tan 2，所以tan(2)1.由tan 0，且(0，)，知0，所以02.又tan 20，所以02.又tan ，且(0，)，所以，所以，20，所以2.答题指导：对于给值求角问题，要根据题设已知条件进一步缩小角的范围，否则容易出现增解或错解1(2012辽宁高考)已知sin cos ，(0，)，则sin 2()a1 b c d12如果cos2cos2a，则sin()sin()等于()a b ca da3已知tan，tan，则tan()的值为()a b c d14_.5化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.6已知sin msin(2)(m1)，求证：tan()tan .参考答案基础梳理自测知识梳理1sin cos cos sin cos cos sin sin 22sin cos cos2sin22cos2112sin23212sin22cos214.基础自测1c解析：因为sin 47sin(3017)sin 30cos 17sin 17cos 30，所以原式sin 30，故选c.2c解析：cos 1.3b解析：sina(sin cos )，又cos(sin cos )，cosa.42，2解析：f(x)2sin，又1sin1，2f(x)2.52 013解析：tan 22 013.考点探究突破【例11】 b解析：由题意得tan ctan(ab)tan(ab)，又tan atan b，解得tan atan b.故选b.【例12】 解：原式cos 2x.【例21】 解析：sin 2xcoscos 22sin21221.【例22】 解：，0.又cos，sin.0，.又sin，cos，sin()coscoscoscossinsin.【例31】 解：原式.又2，.cos 0.原式cos .【例32】 解：tan ，3tan210tan 30，解得tan 3或tan .又，tan .【例41】 证明：左边cos sincossin cos sin 2右边原式成立【例42】 证明：3sin sin(2)，即3sin()sin()，3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，2sin()cos 4cos()sin ，tan()2tan .又4tan1tan2，tan.tan()2tan 1.，.演练巩固提升1a解析：将sin cos 两端同时平方得，(sin cos )22，整理得12sin cos 2，于是sin 22sin cos 1，故选a.2c解析：sin()sin()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin2cos2cos2sin2(1cos2)cos2cos2(1cos2)cos2cos2a.3d解析：tan()tan1，故选d.4.解析：sin 50(1tan 10)sin 50sin 501，cos 80sin 10sin210.5解：解法一：原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.解法二：原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2co