【导与练】高考数学 试题汇编 第三节 直接证明与间接证明 理（含解析）.doc

第三节直接证明与间接证明 直接证明考向聚焦证明方法是高考常考内容,一般不单独命题、主要以函数、三角函数、数列、向量、不等式、立体几何、解析几何等为载体,考查综合法、分析法、反证法等且以直接证明的综合法为重点.多以解答题的形式出现,具有一定的难度,属中高档题,所占分值1214分备考指津综合法和分析法是两种不同的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于证题过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,应注意两种方法的综合运用1.(2010年山东卷,理12)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np.下面说法错误的是()(a)若a与b共线,则ab=0(b)ab=ba(c)对任意的r,有(a)b=(ab)(d)(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2解析:若a=(m,n)与b=(p,q)共线,则mq-np=0,依运算“”知ab=0,故a正确.由于ab=mq-np,又ba=np-mq,因此ab=-ba,故b不正确.对于c,由于a=(m,n),因此(a)b=mq-np,又(ab)=(mq-np)=mq-np,故c正确.对于d,(ab)2+(ab)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故d正确.答案:b. 对此类给出一种新概念、新运算、新性质的题目,在准确理解、把握所给新概念、新运算、新性质的基础上,正确迁移,运用所学知识解决新问题.2.(2010年湖北卷,理15)设a0,b0,称2aba+b为a,b的调和平均数.如图,c为线段ab上的点,且ac=a,cb=b,o为ab中点,以ab为直径作半圆.过点c作ab的垂线交半圆于d,连接od,ad,bd.过点c作od的垂线,垂足为e.则图中线段od的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是a,b的几何平均数,线段的长度是a,b的调和平均数.解析:在rtabd中,cd是斜边ab上的高,所以cd2=accb,所以cd=accb=ab,所以线段cd的长度是a,b的几何平均数.在rtocd中,因为ceod,所以decd=cdod,所以线段de的长度为cd2od为aba+b2=2aba+b.所以线段de的长度是a,b的调和平均数.答案:cdde间接证明考向聚焦间接证明体现了正难则反的思维方法,高考中一些选择题的解答常常举反例来判断选项的正误,解答题中时常会出现含有反面词语的证明,题目一般比较综合备考指津应加强反证法原理及证题步骤的理解训练,对于从正面不容易证明的问题,可考虑利用反证法来间接证明3.(2011年上海卷,理22)已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7(nn*).将集合x|x=an,nn*x|x=bn,nn*中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,cn,.(1)求c1,c2,c3,c4;(2)求证:在数列cn中,但不在数列bn中的项恰为a2,a4,a2n,;(3)求数列cn的通项公式.(1)解:由a1=9,a2=12,a3=15b1=9,b2=11,b3=13c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.(2)证明:数列cn由an、bn的项构成,只需讨论数列an的项是否为数列bn的项.对于任意nn*,a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=2(3n-2)+7=b3n-2,a2n-1是bn的项.下面用反证法证明:a2n不是bn的项.假设a2n是数列bn的项,设a2n=bm,则32n+6=2m+7,m=3n-12,与mn*矛盾.即a2n是cn中的项,但不在bn中.结论得证.(3)解:b3k-2=2(3k-2)+7=6k+3,a2k-1=6k+3,b3k-1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7,b3k-2=a2k-1b3k-1a2kb3k,k=1,2,3,.所以,cn=b3k-2=a2k-1,n=4k-3,b3k-1,n=4k-2,a2k,n=4k-1,b3k,n=4k,kn*.综上,cn=6k+3,n=4k-3,6k+5,n=4k-2,6k+6,n=4k-1,6k+7,n=4k,kn*.4.(2010年湖北卷,理20)已知数列an满足:a1=12,3(1+an+1)1-an=2(1+an)1-an+1,anan+10,anan+10,故an=(-1)n-11-34(23)n-1.bn=an+12-an2=1-34(23)n-1-34(23)n-1=14(23)n-1.(2)证明:假设数列bn存在三项br,bs,bt(rsbsbt,则只能有2bs=br+bt成立.214(23)s-1=14(23)r-1+14(23)t-1,两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=22s-r3t-s.由于rst,上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列bn中任意三项不可能成等差数列.(2011年大纲全国卷,理21,12分)已知o为坐标原点,f为椭圆c:x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点,过f且斜率为-2的直线l与c交于a、b两点,点p满足oa+ob+op=0.(1)证明:点p在c上;(2)设点p关于点o的对称点为q,证明:a、p、b、q四点在同一圆上.证明:(1)焦点f(0,1),直线l的方程为y=-2x+1.1分将代入到x2+y22=1中整理得4x2-22x-1=0.2分设a(x1,y1),b(x2,y2),p(x3,y3),则x1+x2=22,y1+y2=-2(x1+x2)+2=1.3分oa+ob+op=0,x3=-(x1+x2)=-22,y3=-(y1+y2)=-1,p点的坐标为(-22,-1).4分经验证,点p的坐标(-22,-1)满足方程x2+y22=1,故点p在椭圆c上.5分第(1)问赋分细则:(1)写出焦点f的坐标及直线l的方程得1分;(2)将直线l的方程代入到椭圆c的方程中化简正确得1分;(3)将向量等式oa+ob+op=0坐标化,结合一元二次方程根与系数的关系求出p点的坐标得2分;(4)将p点坐标代入到椭圆c的方程中验证得1分.(2)由p(-22,-1)得其关于原点的对称点q(22,1),线段pq的垂直平分线l1的方程为y=-22x.6分设线段ab的中点为m,由(1)得m(24,12),线段ab的垂直平分线l2的方程为y=22x+14.7分由得l1,l2的交点n(-28,18),|np|=(-22+28)2+(-1-18)2=3118.8分|ab|=1+(-2)2(x1+x2)2-4x1x2=3(22)2-4(-14)=322,|am|=324.9分又|mn|=(24+28)2+(12-18)2=338,|na|=|am|2+|mn|2=3118,|np|=|na|.10分又|np|=|nq|,|na|=|nb|,|na|=|np|=|nb|=|nq|.11分由此知a、p、b、q四点在以n为圆心,|na|为半径的圆上.12分第(2)问赋分细则:(1)分别求出线段pq、ab的垂直平分线l1、l2方程各得1分;(2)求出直线l1与l2交点n的坐标及|np|得1分;(3)分别求出|am|和|na|各得1分;(4)通过计算得到|na|=|np|=|nb|=|nq|,由此证出a、p、b、q四点共圆,得2分. 通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)不知道将oa+ob+op=0坐标化,得到a、b、p三点坐标间的关系式,无从下手;(2)不知道利用整体代换求出p点坐