实验二快速傅立叶变换FFT.doc

实验二 应用FFT对信号进行频谱分析一、实验目的1.加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。2.在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅立叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。3.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。4.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。二、实验原理与方法一个连续信号xa(t)的频谱可以用他的傅立叶变换表示为：=如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列：x(n)=Xa(nT)同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期：X(z)=当Z=ej的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换：X(ej)=其中称为数字频率，它和模拟域频率的关系为：式中的fs是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频率fs的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换为序列的频谱。序列的傅里叶变换和对应的采样信号频率具有下式的对应关系。X(ej)=即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从上式可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足Nyquist定理。在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅里叶变换（DFT），这一变换可以很好地反映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时，我们定义离散傅里叶变化为：X(k)=DFTx(n)=其中，它的反变换定义为：x(n)=IDFTX(k)=令Z=，则有：=DFTx(n)可以得到，是Z平面单位圆上幅角为的点，就是将单位圆进行N等分以后第K个点。所以，X(k)是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列福利叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频率混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。通过前面的知识，已经知道有限列长为的序列的变换为 其逆变换为 由于MATLAB软件本身的特点，序列或向量元素下标从1开始记录，而不是从0开始。因此，上述两式在MATLAB中相应的表达式为 而下面所讨论使用的快速傅立叶变换并不是与不同的另外一种变换，而是为减少计算次数的一种快速有效的算法。这种快速算法，主要是利用了下面两个特性使长序列的分解为更小点数的所实现的。（1） 利用的对称性使运算中有些项合并 （2） 利用的周期性和对称性使长序列的分解为更小点数的 快速傅立叶变换算法正是基于这一基本思想而发展起来的。快速傅立叶变换算法形式很多，但是基本上可以分为两大类，即按时间抽取（DecimationInTime，简称）法和按频率抽取（DecimationInFrequency）法。在这里，以时间抽取的算法（库利图算法）为例，简单说明一下算法的算法原理。 为了讨论方便，设，其中为整数。如果不满足这个条件，可以认为得加上若干零点来达到。由的定义知 其中是列长为的输入序列，把它按的奇偶分成两个序列 又由于，则 上式表明了一个N点的DFT可以被分解为两个N/2点的DFT。同时，这两个N/2点的DFT按照上式又可以合成为一个N点的DFT。 为了要用点数为N/2点的X(k)、X(k)来表达N点的X(k)值还必须要用W系数的周期性，即 这样可得 即 X（同理可得 X（另外再加上W的对称性 就可以将X(k)的表达式分为前后两个部分：前半部分 后半部分 由以上分析可见，只要求出区间内各个整数k值所对应的X(k)、X(k)的值，即可求出区间内的全部X（k）值，这一点恰恰是FFT能大量节省计算的关键所在。三、实验内容及步骤MATLAB为计算数据的离散快速傅立叶变换，提供了一系列丰富的数学函数，主要有Fft、Ifft、Fft2 、Ifft2, Fftn、ifftn和Fftshift、Ifftshift等。当所处理的数据的长度为2的幂次时，采用基-2算法进行计算，计算速度会显著增加。所以，要尽可能使所要处理的数据长度为2的幂次或者用添零的方式来添补数据使之成为2的幂次。1. Fft和Ifft函数调用方式（1） Y=fft(X)参数说明如果X是向量，则采用傅立叶变换来求解X的离散傅立叶变换；如果X是矩阵，则计算该矩阵每一列的离散傅立叶变换；如果X是（N维数组，则是对第一个非单元素的维进行离散傅立叶变换；（2） Yfft(X,N)参数说明N是进行离散傅立叶变换的X的数据长度，可以通过对X进行补零或截取来实现。（3） （3）Yfft(X,dim) 或Yfft(X,N,dim)参数说明在参数dim指定的维上进行离散傅立叶变换；当X为矩阵时，dim用来指定变换的实施方向：dim=1,表明变换按列进行；dim=2表明变换按行进行。函数Ifft的参数应用与函数Fft完全相同。应用说明【实例1】fft的应用X=2 1 2 8;Y=fft(X)运行结果Y13.0000 0+7.0000i -5.0000 0-7.0000【实例2】fft(X,N,dim)的应用A=2 5 7 8; 1 4 0 5; 3 8 5 1; 9 1 2 7;Z=fft(A,1)【实例3】fft在信号分析中的应用使用频率分析方法从受噪声污染的信号x(t)中鉴别出有用的信号。程序：t=0:0.001:1; %采样周期为0.001s,即采样频率为1000Hz; %产生受噪声污染的正县正弦波信号；x=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)+rand(size(t);subplot(2,1,1)plot(x(1:50); %画出时域内的信号；Y=fft(x,512); %对X进行512点的傅立叶变换；f=1000*(0:256)/512; %设置频率轴（横轴）坐标，1000为采样频率；subplot(2,1,2)plot(f,Y(1:257);