曾谨严量子力学习题解答6.pdf

1 曾 P 532 7 一维无限深势阱中的粒子 受到微扰 的作用 求基态能量的一级修正 ax 0 12 2 a x a x xH 20ax axa 2 解 一维无限深势阱中的粒子的基态波函数为 ax 0 a x a sin 2 1 基态能量的一级修正为 dxHE 11 1 1 dx a x a x a dx a x x a dx a x a x a dx a x a x a a a a a a a 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 sin1 4 sin 4 sin12 2 sin2 2 1 容易求得 2 22 2 0 2 416 sin aa dx a x x a 2 2 2 416 sin1 aa dx a x a x a a 代入 1 式可得 222 22 2 1 1 2 2 1 416 4 416 4 aa a aa a E 2 曾 p 533 练习10 实际原子核不是一个点电荷 它有一定的大小 假设可以视为一个均匀分布的球 测量表明 电荷分布半径 1 13 00 1 635 10 s pp Rr Zrcm 试用微扰理论估计这种效应对原子的能级的修正 非点电荷 1s假设 电子波函 数近似取为类氢原子的1s态波函数 解 aGauss用定理不难求出球形电荷分布的静电势为 2 2 31 22 Zer RR r Ze r rR 电子的势能为 而视核为点电荷时电子的势能为 二者之差 V rer 2 Ze r 2 Ze Her r 2 2 3 13 22 0 r Ze rRR rR 可以视为微扰 类氢离子中轨道电子波函数为1s 0 1 3 2 1 3 0 zr a s Z e a 为半径 能级的微扰论一级修正为 0 aBohr1s 1 2 2 11101 4 R ssss EHHr dr 由于核半径远小于原子半径 积分时可取 R 0 aZ 0 2 1 Zr a e 从而求出 2 442 1 10 33 0 43 22 R s Z err Erdr aRR 2 422 0 1 3 00 24 55 s Z e RZR E aa 1s能级的一级微扰修正为 14 3 2 4222 08 3 0 22 10 55 p r Z e Re ZeV aaa 2282 0 53 10 213 6 aecm eaeV h 3 曾 P 534 14 曾练习 P 307 讨论类氢原子的能级在下列微扰下的能级分裂 2 n rxyfH rf 无奇异性 提示 不计及微扰时 能级为四重简并 不考虑自旋 选择定则2 n H 2 m 解 在微扰作用前 能级是四重简并的 相应状态为 0 2 E 1021210 0020200 YrR YrR 1121121 1121211 YrR YrR 00 1 4 Y 10 33 cos 44 z Y r 11 33 sin 88 i xiy Ye r 1 1 33 sin 88 i xiy Ye r 由波函数和的对称性容易看出 在之四个简并态构成的子空间中 微扰的不 H 等于 的矩阵元只有和经过简单地计算 可得 H 0 211 21 1 H 21 1 211 H 211 21 1 HiA 21 1 211 HiA 其中 2 4 021 1 5 ARf r r dr 实数 在这个子空间中 在一级微扰近似下 并不和其他态发生耦合 能级也不变 200 也是这样 和则将发生耦合 与此相应 能级发生分裂 210 211 21 1 在子空间中 的矩阵表示为 21121 1 H 0 0 iA H iA 按照题讨论过的第种情形 即得能级修正和相应的零级波函数为8 2 2o 1 2 EA 0 21121 1 1 2 i 1 2 EA 0 21121 1 1 2 i 结论在微扰一级近似下 能级分裂为三条等间距得能级 即 0 2 E 00 22 EE 0 2 EA 前一条仍为二重简并 200210 相应于及后二条不简并 4 曾 p 644 练习7 有一个一维非简并谐振子 22 4 2 2 d Hx m dx h 假设非简并谐振子处于基态 试用简并谐振子的波函数 22 0 1 4 1 exp 2 a xx 为试探波函数 为变分参数 求基态能量 解 由题意已知试探波函数为 22 1 2 01 4 x xe HHdx 2222 1122 4 22 2 22 4 2 3 44 xx d exedx m dx m h h 0 H 即 2 5 3 0 2m h 可解得 1 6 2 6m h 将代回求得 H 422 1122 333 33 minmin 3 1 082 422 EH mm hh 5 曾 p 645 练习8 解 利用归一化条件1d 已知 试探波函数为 2 exp Nr a 故有 2 2 2 22 0 41 r a N er dr 设氢原子的基态试探波函数取为 2 exp rNr a 22 ae h N为归一化系数 为变分参数 求基态能量 并与精确解比较 2 2 2 22 0 41 r a Ner dr 若令则上式变为 2 2 xr a 2 3 2 2 22 0 41 2 x a Nex dx 3 2 2 2 41 24 a N 可求得 3 2 2 2 2 N a 氢原子基态 222 2 1 2 de Hr r drr h 2 0 4HHr dr 22 22 2 2 222 22 0 2 2 222 2242 0 24 2222 2 1 22 2 1 2 1 4 2 32 4 2 3 1 4 42 224 32 2 2 rr aa r a de Nerer dr r drr Nrre r edr aa ae a N ee a a