点、直线、平面之间的位置关系及其论证.doc

平面知识要点：1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言3.公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题）练一练：1、求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.2、在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：2平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行.a/b,c/b,则a/c。作用：证明两直线平行。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 作用：可以用来证明空间中的两个角相等4. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.【例1】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小. 直线与平面、平面与平面位置关系知识要点：1、线面位置关系：（1）直线在平面内（直线与平面有无数个公共点）：（2）直线和平面平行（直线与平面无任何公共点）： （3）直线与平面相交(直线与平面有唯一一个公共点):2、面面位置关系：平行（没有公共点）、相交（有一条公共直线）,分别记作；.。【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求. ABCDEFGH 【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 直线与平面平行的判定知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示.例题精讲：【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D. ABC D E F GM O 【例3】如图，已知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面. 【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN/平面PAD；（2）若，求异面直线PA与MN所成的角的大小.平面与平面平行的判定知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2） 若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD A1AB1BC1CD1DGEFNMPDCQBA【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC. 【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离. 直线与平面平行的性质知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：.例题精讲：【例1】 经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B.【例2】如图，求证：.【例3】平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD/平面EFGH.【例4】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证ABCD平面与平面平行的性质知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.2. 其它性质：； ；夹在平行平面间的平行线段相等.例题精讲：【例1】如图，设平面平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D. 求证：MN. 【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形 【例3】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG平面ABC.【例4】如图，已知正方体，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF平面ABCD.直线与平面垂直的判定知识要点：1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. 平面的垂线，直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若，B，则3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求）求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.例题精讲：【例1】四面体中，分别为的中点，且，求证：平面.【例2】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值.【例3】三棱锥中，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC垂心.【例4】已知，斜边BC/平面， AB，AC分别与平面成30和45的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.平面与平面垂直的判定知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）例题精讲：【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：【例4】正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.线面、面面垂直的性质知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，则.（面面垂直线面垂直）例题精讲：【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？ 【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC. （1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的外心.【例4】三棱锥中，三个侧面与底面的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的内心.ACBa小结：1、证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；平行线的传递性： 面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；垂直于同一平面的两直线平行； 2、证明两直线垂直的主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。3、空间角及空间距离的计算（1）异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，（2）斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： 明确构成二面角两个半平面和棱； 明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 （求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图是两异面直线间的距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图：O为P在平面上的射影，线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥中有：直线与平面平行的判定一、填空题1以下说法(其中a，b表示直线，表示平面)正确的个数为_若ab，b，则a；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab2已知a，b是两条相交直线，a，则b与的位置关系是_3如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系是_4在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB13，则对角线AC和平面DEF的位置关系是_5过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为_个6过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线有_条7经过直线外一点有_个平面与已知直线平行8如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是_；(2)与直线AA1平行的平面是_；(3)与直线AD平行的平面是_9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_二、解答题10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点求证：EF平面BDD1B111如图所示，P是ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PEEABFFD求证：EF平面PBC直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面没有公共点这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明(2)利用直线和平面平行的判定定理：a，ab，b，则a使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整因此要证明a平面，则必须在平面内找一条直线b，使得ab，从而达到证明的目的证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等直线与平面平行性质一、填空题1已知直线l平面，直线m，则直线l和m的位置关系是_2若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面的距离相等，且A、B、CD/，则面ABC与面的位置关系为_3若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是_(填序号)内的所有直线与m异面；内不存在与m平行的直线；内存在唯一的直线与m平行；内的直线与m都相交4如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是_5直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为_6如图所示，平面l1，l2，l3，l1l2，下列说法正确的是_(填序号)l1平行于l3，且l2平行于l3；l1平行于l3，且l2不平行于l3；l1不平行于l3，且l2不平行于l3；l1不平行于l3，但l2平行于l37设m、n是平面外的两条直线，给出三个论断：mn；m；n以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：_(用序号表示)8如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_9如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC平面EFGH，BD平面EFGH，ACm，BDn，当四边形EFGH是菱形时，AEEB_二、解答题10ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH11如图所示，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH求证：CD平面EFGH直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去可有如下示意图：直线与平面垂直的判定一、选择题1下列命题中正确的是_(填序号)如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直2直线a直线b，b平面，则a与的关系是_3若a、b、c表示直线，表示平面，下列条件中能使a为_(填序号)ab，bc，b，c；ab，b；abA，b，ab；ab，b4如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC的形状为_三角形5如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有_(填序号)SG面EFG；SD面EFG；GF面SEF；GD面SEF6ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为_7如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数为_8在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_二、解答题10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点求证：CF平面EAB11如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PAAD求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD1直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义(2)利用线面垂直的判定定理(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a2在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示直线与平面垂直的性质一、填空题1与两条异面直线同时垂直的平面有_个2若m、n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为_n；mn；mn；n3已知直线PG平面于G，直线EF，且PFEF于F，那么线