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ByNO 7 概率论第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望 1 定义1 设离散型随机变量X的分布率为P X xk pk k 1 2 若级数绝对收敛 则称级数的和为随机变量X的数学期望 记为E X 即E X 2 设连续型的随机变量X的概率密度为f x 若积分绝对收敛 则称积分的值为随机变量X的数学期望 记为E X 即E X 2 性质 假设以下所遇到的随机变量的数学期望存在 1 设C是常数 则有E C C 2 设X是一个随机变量 C是常数 则有E CX CE X 3 设X Y是两个随机变量 则有E X Y E X E Y 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 4 设X Y是相互独立的随机变量 则有E XY E X E Y 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况 3 一个数学期望有关的定理 设Y是随机变量X的函数 Y g X g x 是连续函数 4 相关例题 二 方差 1 定义 X的方差 记为D X 或Var X 即D X Var X E X E X 2 设X是一个随机变量 若E X E X 2 存在 则称E X E X 2 为 在应用上我们还引入量 记为 X 称为标准差或均方差 2 计算 对于连续型的随机变量 有D X 其中f x 是X的概率密度 3 性质 1 设C是常数 则D C 0 3 设X Y是两个随机变量 则有D X Y D X D Y 2E X E X Y E Y 特别 若X Y相互独立 则有D X Y D X D Y 2 设X是随机变量 C是常数 则有D CX C2D X D X C D X 4 D X 0的充要条件是X以概率1取常数E X 即P X E X 1 4 重要定理 切比雪夫不等式 证明 设X的概率密度为飞f x 则有P X f x dx 这个公式很重要哦 千万记住了 5 例题 三 协方差及相关系数 2 基本性质 7 1的充要条件是 存在常数a b使得P Y a bX 1 5 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 6 1 当 0时 称X与Y不相关 2 D X Y D X D Y 2Cov X Y 3 Cov X Y E XY E X E Y 1 Cov X Y Cov Y X Cov X X D X 4 Cov aX bY abCov X Y a b是常数 3 例题 设随机变量XN YN 且设X Y相互独立 试求Z1 aX bY和Z2 aX bY的相关系数 其中a b是不为零的常数 解 Cov Z1 Z2 Cov aX bY aX bY a2Cov X X abCov X Y abCov Y X b2Cov Y Y a2D X b2D Y a2 b2 而有D Z1 D aX bY a2D X b2D Y 2Cov aX
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