【志鸿全优设计】八年级数学上册 第十一章 11.2 与三角形有关的角例题与讲解 新人教版.doc

11.2与三角形有关的角1三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180.如图所示，过c作cmab，将求abacb转化为求12acb，或过a点作debc，把求bacbc转化为求bacdabeac.(3)理解与延伸：因为三角形内角和为180，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：一个三角形中最多只有一个钝角或直角；一个三角形中最少有一个角不小于60；直角三角形两锐角互余；等边三角形每个角都是60等(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数谈重点 三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛【例1】 填空：(1)在abc中，若a80，c20，则b_；(2)若a80，bc，则c_；(3)已知abc的三个内角的度数之比abc235，则b_，c_.解析：(1)三角形内角和为180，已知两角求第三角；(2)可设cx，那么xx80180，求出x50.所以c50；(3)设每一份为x，得2x3x5x180，求得x18，所以b54，c90.答案：(1)80(2)50(3)54902直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余如图所示，在rtabc中，如果c90，那么ab90.【例21】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果43，则的度数是()a43 b47 c30 d60解析：如图所示，由平行线的性质可知，cef43，所以bdccef43，dbc，在rtdbc中，dbcbdc90，所以4390，所以904347.答案：b(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，在abc中，如果a+b=90，那么c=90，即abc是直角三角形提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180，如果有两个角的和为90，那么第三个角自然是直角由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形【例22】 如图所示，abcd，直线ef分别交ab，cd于点e，f，bef的平分线与dfe的平分线相交于点p，求证：epf是直角三角形证明：abcd，befdfe180.ep，fp分别平分bef，dfe，pefbef，pfedfe，pefpfe(befdfe)18090，epf是直角三角形3三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角如图，acd就是abc其中的一个外角(2)特点：三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示破疑点 三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意【例3】 在abc中，a等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于b的两倍，那么a_，b_，c_.解析：a和与它相邻的外角互为邻补角，a又等于和它相邻的外角的四分之一，所以a36，a的外角为144，所以b72，根据三角形内角和为180，可以求得c72.答案：3672724.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和如图所示：1bc(或b1c，c1b)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等析规律 三角形外角的性质的理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形【例4】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12_.解析：由三角形外角性质定理可知，190aed，290ade，所以1290aed90ade.因为90aedade180，所以1218090270.答案：2705三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如1，2，3，它们的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和【例5】 如图所示用两种方法说明123360.分析：方法一：根据同顶点的外角与内角互为邻补角和三角形内角和定理证明；方法二：根据一个外角等于和它不相邻的两个内角的和及三角形内角和定理证明解：方法一：因为1bac180，2abc180，3acb180，所以1bac2abc3acb540.又bacabcacb180，所以123180540.所以123360.方法二：因为1abcacb，2bacacb，3abcbac，所以123abcacbbacacbabcbac2(abcacbbac)2180360.点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据6.三角形内角和定理应用三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：(1)已知两角求第三角这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系(2)已知三角的比例关系求各角这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180列方程求解，然后再求出每一个角的度数有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状(3)已知三角之间相互关系求未知角这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数解技巧 利用三角形内角和求三角形的内角运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同，要根据实际灵活运用7三角形外角性质的应用外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理如图所示，1是abc的一个外角，在1，b，c三个角中，知道任意两个角就可以求出第三个角1bc；b1c；c1b.破疑点 利用三角形外角的性质求一个角的方法因三角形外角的性质是由三角形内角和与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用外角性质定理解决问题8三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等解技巧 三角形内角和、外角性质的综合运用因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系【例61】 在abc中，a80，b60，则c_.解析：根据三角形内角和是180，直接减去a，b的度数即可得出c的度数答案：40【例62】 已知在abc中，a40，bc40，则b_，c_.解析：由bc40得b40c.根据三角形内角和是180，列出等式abca40cc180，把a40代入，求得c50，进而求得b90.答案：9050【例63】 在abc中，abc532，那么abc是()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形 d任意三角形解析：根据比例关系和三角形内角和，设每一份为x ，那么a5x，b3x，c2x，所以5x3x2x180，解得x18，直接得出a90，所以abc为直角三角形熟练后大家可以根据a所占的比例是整个比例中的一半，直接得出a90，所以abc是直角三角形答案：b【例64】 锐角三角形的三个内角是a，b，c.如果ab，bc，ca，那么，这三个角中()a没有锐角 b有1个锐角c有2个锐角 d有3个锐角解析：因为三角形为锐角三角形，所以三角形中不存在钝角和直角根据三角形内角和是180可知，180减任何一个角都大于90，因此任意两个角的和都是钝角，因为，都等于三角形两内角的和，所以它们都是钝角，只有a正确，故选a.答案：a【例7】 填空：(1)如图(1)，p为abc中bc边的延长线上一点，a50，b70，则acp_.(2)如图(2)所示，已知abe142，c72，则a_，abc_.(3)如图(3)，3120，则12_.解析：(1)由三角形外角性质可知acpab5070120.(2)由三角形外角性质可知aabec1427270；abc与abe互补，所以abc38.(3)观察图形，根据三角形外角性质可知，1是三角形外角，124，4与3互为邻补角，所以4180318012060，即1260.答案：(1)120(2)7038(3)60【例81】 如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，12等于()a120 b240 c300 d360解析：如图(2)，由三角形外角性质定理可知，135，234，所以123534.因为三角形为等边三角形，所以360，由三角形内角和定理可知345180，所以1260180240，故选b.答案：b【例82】 如图，ab，则下列式子中值为180的是()a bc d9.运用三角形内角和定理判断三角形形状判断三角形形状是三角形问题中经常遇到的题目，而判定三角形形状方法多样，其中运用三角形内角和定理求角，进而判断三角形形状是最常用的方法因为三角形按角分类可以分为三类：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，此外根据角的度数还能判定等腰三角形、等边三角形，因此根据三角形内角和定理求出三角形某些角的度数，不仅可以按角分类判断三角形的形状，还可以按边分类判断三角形的形状，进而了解边的大小关系解技巧 利用三角形内角和确定三角形的形状运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断解析：如图，因为ab，所以2，1.由图可知12180，得180，所以a正确，故选a.答案：a【例91】 一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形一定是()a直角三角形 b等腰三角形c锐角三角形 d钝角三角形解析：设三个内角度数分别为2k，3k，7k，由三角形内角和定理，得2k3k7k180，解得k15，所以2k30，3k45,7k105.所以这个三角形是钝角三角形，故选d.答案：d【例92】 在abc中，若a2b3c，试判断这个三角形的形状分析：根据a2b3c，可设ax，那么bx，cx，根据三角形内角和是180列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判断出三角形的形状解：设ax，则bx，cx，于是有xxx180，解得x98.2，即最大角a98.2.所以可知abc是钝角三角形10角平分线的夹角与三角形内角关系的探究根据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分线的夹角问题(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系如图，在abc中，abc的平分线与acb的平分线交于点o，求boc与a之间的关系结论：三角形两内角的平分线所夹的钝角等于90加上第三角的一半，即boc90a.(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系如图，在abc中，bp，cp分别是abc的外角dbc和ecb的平分线，试探究bpc与a的关系结论：三角形的两个外角的平分线所夹的锐角等于90减去第三个角的一半，即bpc90a.(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系如图，在abc中，ce平分acb，be是abc的外角abd的平分线，试探究bec与a的关系结论：三角形的一个内角平分线与外角平分线相交成的锐角等于第三个内角的一半，即beca.【例101】 如图，已知abc，abc的平分线与acb的平分线交于点o，求boc与a之间的关系分析：根据角平分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由boc180(obcocb)，经过代换得，boc180abcacb180(abcacb)180(180a)，化简得出结论解：因为bo，co分别是abc，acb的平分线，所以obcabc，ocbacb.因为boc180(obcocb)，所以boc180abcacb180(abcacb)180(180a)90a.【例102】 如图，bo，co分别是abc，acb的两条平分线，a100，则boc的度数是()a80b90c120d140解析：根据以上结论可以直接得出boc90a90100140，故选d.答案：d【例103】 如图所示，abc的平分线和abc的外角ace的平分线交于点d，d30，a的度数是_；当d_时，a的度数是90.解析：(1)题目符合“一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系”，所以da，因此a2d23060；(2)同样当a90时，da，所以d应为45.答案：604511.与三角形有关的角的问题的一题多解由于用三角形外角性质得到的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样，很多题目解法都不唯一，例如：如图(1)是由平面上五个点a，b，c，d，e连接而成，求abcde的度数是多少？由于每个角的度数都不知道，所以需要将五个角转化到同一个三角形中解决，解决此问题有