高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 理 新人教版.ppt

第11节导数在研究函数中的应用 考纲展示1 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数不超过三次 3 会用导数解决实际问题 知识梳理自测 考点专项突破 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 f x0 0是可导函数f x 在x x0处取极值的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当f x0 0且x0左右两端的导数符号变化时 才能说f x 在x x0处取得极值 反过来 如果可导函数f x 在x x0处取极值 则一定有f x0 0 知识梳理 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递增 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不存在变号零点 2 函数的极值与导数 1 函数极小值的概念 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 单调递减 f a 0 在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 2 函数极大值的概念 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点与极大值点统称为 极小值与极大值统称为 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 3 函数的最值与导数求函数y f x 在闭区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 极值 最大 最小 4 利用导数解决实际生活中的优化问题 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 重要结论 1 若函数f x 的图象连续不断 则f x 在 a b 内一定有最值 2 若函数f x 在 a b 内是单调函数 则f x 一定在区间端点处取得最值 3 若函数f x 在开区间 a b 内只有一个极值点 则相应的极值一定是函数的最值 4 极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得 不包括端点 最值却可以在端点处取得 有极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 非常数可导函数最值只要不在端点处取 则必定在极值处取 双基自测 1 下列函数中 在 2 内为增函数的是 a 3sinx b x 3 ex c x3 15x d lnx x b 解析 3sinx 3cosx x 3 ex x 3 ex x 3 ex x 2 ex x3 15x 3x2 15 lnx x 1 当x 2时 只有 x 3 ex 0恒成立 故选b 2 已知函数f x x3 px2 qx的图象与x轴切于点 1 0 则f x 的极大值 极小值分别为 a 3 若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 d 4 函数y x 1 ex的最小值为 解析 由y x 2 ex 可知x 2为函数在定义域内唯一的极小值点 也是最小值点 故其最小值为 e 2 答案 e 2 5 给出下列命题 f x 0是f x 为增函数的充要条件 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 函数的极大值不一定比极小值大 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 其中真命题是 写出所有真命题的序号 解析 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 错误 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 还可能与极小值相等 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在r上为增函数 所以0不是极值点 正确 当函数仅在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 答案 第一课时利用导数研究函数的单调性 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 利用导数研究函数单调区间 考查角度1 不含参数函数的单调区间 例1 2016 北京卷 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的单调区间 解 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递增 故g 1 1是g x 在区间 上的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 反思归纳用导数求函数的单调区间的 三个方法 1 当不等式f x 0或f x 0或f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解时要对f x 的解析式或部分解析式进行二次求导 从而确定f x 的符号及零点 考查角度2 根据导函数零点大小与定义域的关系讨论函数的单调区间 例2 2017 冀州月考 设函数f x alnx 其中a为常数 1 若a 0 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 讨论函数f x 的单调性 反思归纳含参数函数的单调区间 需根据参数取值范围讨论求解 其讨论方法主要是考虑导函数零点是否存在 若存在 有几个 导函数零点如何划分定义域 是否在定义域内 多个零点的大小 导函数符号是否确定等方面 考查角度3 构造函数判断导数符号 例3 已知函数f x k为常数 e 2 71828 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 考点二 函数导数与函数单调性关系的应用 考查角度1 导函数图象的理解 例4 导学号38486056 2017 江西临川模拟 如果函数y f x 的图象如图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 解析 如图 由y f x 图象知 当x0 当x10 当x x2时 y f x 单调递减 故f x 0 综上可知 a项符合题意 故选a 反思归纳导函数f x 图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f x 图象上升部分对应的区间 递增区间 导函数f x 图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f x 图象下降部分对应的区间 递减区间 考查角度2 利用导数构造函数解不等式 例5 导学号38486057 2017 沈阳质检 函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为 a 1 1 b 1 c 1 d 反思归纳 考查角度3 根据函数单调性求参数范围 1 若函数g x 在 2 1 内为减函数 求a的取值范围 2 若函数g x 在 2 1 内存在单调递减区间 求a的取值范围 3 若函数g x 在 2 1 上不单调 求a的取值范围 反思归纳 1 函数y f x 在 a b 上是增函数 或减函数 则f x 0 或f x 0 在 a b 内恒成立 2 函数y f x 在 a b 上存在单调递增 或递减 区间 则f x 0 或f x 0 在 a b 内有解 3 函数y f x 在 a b 内不