构造法在解数学竞赛题中的运用二.pdf

构造法在解数学竞赛题中的运用 二 何 念 如 陈 艳 华中师范大学数学与统计学院 430079 文 1 已从5个方面介绍了构造法在解 数学赛题中的运用 本文再介绍4个方面 1 构造解析几何模型 例1 已知a b c 0 且 a 2 ab b 2 3 25 b 2 3 c 2 9 a 2 aba 2 ac c 2 16 试求ab 2bc 3ac的值 分析 此题直接求解不易 观察方程组右 边的数是一组勾股数 故可表示成一个直角 三角形的三边 有两边互相垂直 于是 可建 立平面直角坐标系 由直线的垂直关系和点 到直线的距离来求解 图1 解 建立如图1 所示的直角坐标系 则 A 3 3 b c B 3 2 a a 2c 2 有OA 3 OB 3 4 a 2 a 2 4ac 4c 2 4 a 2 ac c 2 4 AB 5 OA 2 OB 2 AB 2 故 ABC是直角三角形 又直线OA的方程为 3 3 by cx 0 且 OA OB 所以 点B到OA的距离为 3 3 b a 2c 2 c 3 2 a 3 3 b 2 c 2 4 ab 2bc 3ac 2 3 3 因此 ab 2bc 3ac 24 3 2 构造对应关系 例2 在给定的圆周上取定n n 6 个 点 每两点间连一条线段 其中任意三条线段 在圆内都不共点 求这些线段确定的且顶点 在圆内的三角形的个数 分析 在圆周上任取6点 顺次间隔两个 点连线得到的三条线段总可以在圆内组成一 个三角形 任意三条线段在圆内都不共点 即确定6个点也就确定一个三角形 反之 在 圆内的一个三角形延长它的三边总可以和圆 相交于6个点 也就是说一个确定的三角形 和圆上的6个点的一种取法是对应的 也即 6个点的取法组成的集合和圆内的三角形组 成的集合的个数是相等的 因此 可以在这两 个集合之间构造对应关系 把不能直接计算 个数的三角形集合转化成能计算个数的6个 点的取法组成的集合 使问题得以解决 解 设符合题意的所有三角形的集合为 A A1A2A3 A 延长 A1A2A3的三边交 图2 圆周于点B1 B2 B3 B4 B5 B6 如图2 设 从n个给定的点中任 意取6个点的所有取法 的集合为B B C 6 n 则6个点B1 B2 B3 B4 B5 B6就确定了一 种取法 B 建立A到B的映射 设 A1A2A3 A 令 112005年第9期 A1A2A3 易看出 对不同的 A1A2A3 A 按上述 方法所确定的6点组 B1 B2 B3 B4 B5 B6 也不同 从而 A1A2A3 也不同 即 是单射 设取法 B 则可按取法 在圆周上 确定按逆时针顺序排列的6个点B1 B2 B3 B4 B5 B6 联结B1B4 B2B5 B3B6便得到 A1A2A3 A 即 A1A2A3 故 是 满射 所以 是双射 因此 有 A B C 6 n 3 构造抽屉 例3 世界上任意6个人中至少存在3 个人或是互不认识或是互相认识 这就是著名的拉姆赛 Ramsey 问题 抽屉原理又叫鸽巢原理 它是组合数学 中适用于计数的原理之一 分析 要构造 抽屉 首先要确定应对哪 些元素进行分类 然后再找出分类的规律 此 题中的6个人是任意的 就像 鸽子 他们的 区别只在于认识或不认识这两种关系 并且 问题的结论是存在性的 故可以构造 鸽巢 抽屉 注意到对于6个人中的任何一个人 A来说 除A以外的5个人可分为两类 一 类是与A相识的人 另一类是与A不相识的 人 如用F来表示其余5个人中与A相识的 人的集合 用S表示其余5个人中与A不相 识的人的集合 得抽屉F S 再利用抽屉原 理来证明 证明 设其余5个人中与A相识的人组 成的集合为F 与A不相识的人组成的集合 为S 根据抽屉原理 F S中至少有一个集合 有3个人 不妨设为F 若F中的3个人B C D彼此不相识 则命题为真 否则有2个人互相认识 不妨设 为B C 则连同A有3个人互相认识 则命 题也真 如果S中有3个人 设为L M N 若他 们互相认识 则命题为真 否则有2个人互不 相识 设为L M 连同A有3个人互不相识 则命题也真 注 本题还可以用6个点来表示6个人 互相认识的两点之间用红线相连 互相不认 识的两点用蓝线相连 可以证明这15条线段 中必有3条组成同色三角形 这是拉姆赛问 题的另一种表示方式 拉姆赛问题是一个很 重要的命题 一些存在性问题都可以利用它 得以解决 4 构造问题的辅助命题 2 例4 设数列a0 a1 a2 满足条件 a0 1 2 ak 1 ak 1 n a 2 k k 0 1 2 其中n是某个固定的自然数 求证 1 1 n an 1 分析 直接证明结论很困难 由通项公式 可知 an是关于n的函数 但表达式复杂不 易于化简 而结论又与n有关 因此 考虑改 造拓广问题的结论 考虑把1 1 n 略放大一点儿 由于 1 1 n n 1 n n n 1 n 1 n 2 以此构造一个更强的命题 已知条件与原命题相同 求证 n 1 n 2 an 1 为利用已知条件 ak 1 ak 1 n a 2 k k 0 1 2 进一步用构造法对式 进行改造得 n 1 n 2 n k ak n n n k 即 n 1 2n k 2 ak n 2n k 式 的优点在于可对k用数学归纳法 且证法简单 而当k n时 式 即为式 下转封底 21中 等 数 学 y x y x 9 设n为正整数 则 x n x n 10 对整数x 有 x x 对非整数x 有 x x 1 11 对正整数m和n 不大于m的n的 倍数共有 m n 个 12 函数 x 定义为实数x的正的纯小 数部分 即 x x x y x 还有如下一些性质 i x 0 1 ii x 是以1为最小正周期的周期函 数 iii n x x n为整数 13 设p N 满足2 2 p 的 的最 大值为M 2 p 1 由 11 知 M 2 p 2 2 p 2 2 2 p 2 3 2 p 1 2 p 2 2 1 2 p 1 15 阶数与原根 1 阶数定义 当 a m 1 有最小正整数 使 a 1 mod m 且 a k 1 modm 0 k m 则 叫做a关于m的阶数 由欧拉定理得 m m 2 原根定义 如果 m 叫做a关于模m的阶 数是 m 此时 a叫做m的原根 3 阶数 的性质 1 如果a关于m的阶数是 那么 a0 a 1 a 1中 任两数关于模m不同余 2 若 是关于m的阶数 则满足 a t 1 mod m 的t 都有 t 本刊资料室 上接第12页 这样 最终需要证明的命题是 已知条件与原命题相同 求证式 成立 下面用数学归纳法证明式 证明 当k 1时 a1 1 2 1 4n 于是 n 1 2n 2 1 a1 n 2n 1 命题成立 假设k N 1时命题成立 即 n 1 2n N 1 2 aN 1 n 1 2n N 3 1 1 n n 1 2n N 3 n 1 2n N 2 且 aN aN 1 1 n a 2 N 1 n 2n N