【志鸿全优设计】高中数学 2.2.3变量间的相关关系目标导学 新人教A版必修3.doc

2.3变量间的相关关系1了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义2会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系3会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题1相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的_性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从_角到_角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从_角到_角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系【做一做1】 下列图形中具有相关关系的两个变量是()2线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条_附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_(2)最小二乘法：求线性回归直线方程 x时，使得样本数据的点到它的_最小的方法叫做最小二乘法，其中，的值由以下公式给出：其中，是回归方程的_，是回归方程在y轴上的_线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程因此在学习过程中，要重视信息技术的应用【做一做2】 某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/1813101用电量/千瓦时24343864由表中数据得线性回归方程 x中2，则 _.答案：1(1)随机(2)左下右上左上右下【做一做1】 ca项中显然任给一个x都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；b项也是一种函数关系；c项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；d项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的2(1)直线回归直线(2)距离的平方和斜率截距【做一做2】 6010，40，则4021060.1相关关系与函数关系的异同剖析：相同点：两者均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系2线性回归直线方程的性质剖析：(1)回归直线过样本数据的中心所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn，yn)为样本数据而言，(，)为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关3理解最小二乘法剖析：结合最小二乘法的发展过程和在实际生活中的应用来了解最小二乘法如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求出各未知量的最可靠值，各观测量必须改为正数，使其所改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小，这种方法称为最小二乘法，所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值最小二乘法的思想是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简单的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，是处理各种观测数据测量方差的一种基本方法，是一种数学优化技术在统计中，主要是利用最小二乘法求线性回归方程，这是最小二乘法思想的应用最小二乘法不仅是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中也有着广泛的应用，比如洪水实时预报等题型一 判断相关关系【例题1】 设对变量x，y有如下观察的数据：x151152153154156157158159160162163164y40414141.54242.5434445454645.5(1)画出散点图(2)判断变量x，y是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？分析：对于给定一组观察数据，可以借助作散点图这样有效的手段进行处理反思：两个随机变量x和y是否具有相关关系的确定方法：散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断(如本题)；表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；经验法：借助积累的经验进行分析判断题型二 求回归直线方程【例题2】 每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y(单位：kg/cm2)之间的关系有如下数据：x150160170180190200210220230240250260y56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7求两个变量间的回归直线方程分析：由题目可获取以下主要信息：两个变量具有线性相关关系；由两个变量的对应数据求回归直线方程解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数就都容易求出了反思：(1)用公式求回归方程的一般步骤是：列表xi，yi，xiyi.计算，x，xiyi.代入公式计算，的值写出回归直线方程(2)求回归直线方程时应注意的问题：用公式计算，的值时，要先算出，然后才能算出.使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关的计算题型三 线性回归分析的应用【例题3】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 x；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数，的值；(3)实际上就是求当x100时，对应的y的值反思：(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性，通常转化为求出回归直线方程已知x(y)估计相应的 ()，这时代入回归直线方程即可解决；(2)求回归直线方程，关键在于正确地求出系数，由于，的计算最大，计算时要仔细，避免计算失误题型四 易错辨析【例题4】 下列变量之间的关系属于相关关系的是()a圆的周长和它的半径之间的关系b价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系c家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势d正方形面积和它的边长之间的关系错解：选b或a或d错因分析：两个变量间的相关关系不同于函数关系所谓函数关系，就是其中一个变量(自变量)的每一个值，唯一确定了另一个变量(因变量)的值；而对于相关关系，两个变量间则没有确定的关系，它们的关系相对来说是随机的错解正是混淆了这两者之间的关系，而造成了误选答案：【例题1】 解：(1)画出散点图(2)具有相关关系根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x的值由小变大时，另一个变量y的值也由小变大，所以它们具有正相关关系【例题2】 解：列表如下：i123456xi150160170180190200yi56.958.361.664.668.171.3xiyi8 5359 32810 47211 62812 93914 260i789101112xi210220230240250260yi74.177.480.282.686.489.7xiyi15 56117 02818 44619 82421 60023 322205，72.6，x518 600，xiyi182 943.则0.304，72.60.30420510.28，于是所求的回归直线方程是0.304x10.28.【例题3】 解：(1)散点图，如图所示(2)由题意，得xiyi32.5435464.566.5，4.5，3.5，x3242526286，则0.7，3.50.74.50.35，故线性回归方程为 0.7x0.35.(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.71000.3570.35，故消耗能源减少了9070.3519.65(吨)【例题4】 正解：因选项a，b，d中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项c中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项c中的关系才是相关关系故选c1(2011北京丰台二模，文7)已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为 0.95xa，则a()a3.25 b2.6 c2.2 d02某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为 0.66x1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为_千元3某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：x3528912y46391214则_，_，_，_，回归直线方程为_4已知10只狗的血细胞体积及红细胞数的测量值如下表：血细胞体积x/mm345424648423558403950红细胞数y/百万6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72(1)根据上表画出散点图；(2)根据散点图，判断血细胞体积x与红细胞数y之间是否具有相关关系5假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x成线性相关关系试求：(1)线性回归方程的回归系数与；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？答案：1b线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(，)，由取值表可计算2，知回归方程为0.95xa，又经过点(2，)，代入得a2.6.27.502当x9千元时，y0.6691.5627.502.36.583273961.14x0.59根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，6.5，8，327，396，回归直线方程为1.14x0.59.4分析：准确画出散点图，并用散点图来判断血细胞体积x与红细胞数y之间是否具有相关关系是解决本题的关键解：(1)散点图如图所示(2)从散点图可以看出，两个变量的对应点都集中在一条直线的附近，且y随x的增大而增大，因此血细胞体积x与红细胞数y之间具有相关关系5分析：因为y对x成线性相关关系，所以可以用线性相关的方法