未知总体方差和数学期望条件下的假设检验.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 摘要 在未知总体方差和数学期望的条件下 如何检验假设H0 0 一直是统计学研究中未能解决的问 题 对此 作者提出了一种有效的解决方法 它的重大理论和实践意义在于 1 不需要已知某种标准信息 如 就能对样本平均数是否与总体平均数相一致进行检验 2 能够为抽样推断提供先行信息 并据此作出是否 抽样推断的判断 消除了抽样推断时所隐含的 样本信息结构必须与总体信息结构相近或相同 的前提条件 为 抽样推断提供了可靠的理论基础 因此从一定意义上说 本文的方法实是假设检验理论的一种最新发展 关键词 未知总体方差和数学期望 假设检验 中图分类号 O21211文献标识码 A 收稿日期 2001 09 13 修回日期 2002 04 23 作者简介 谢忠秋 1964 男 江苏丹徒人 常州技术师范学院经济管理系副教授 1 1问题的提出 在现有的众多数理统计学教科书中 1 所讨论的关于一个正态总体的假设检验包括两种情形 一是当 总体方差已知时 检验假设H0 0 用正态 U 检验 另一是当总体方差未知时 检验假设H0 0 用t检验 其特点是已知某种标准信息即 0 检验样本信息是否与该种标准信息相一致 然而 在 某些情形下有时是难以获得其标准信息的 例如对中小学生的素质教育效果进行统计检验 难道我们还 能用传统教育体制下的考试分数作为一种标准 以检验进行素质教育后的学生的考试分数是否与以往 的考试分数相一致 显然不行 由于素质教育是一种新生事物 以往的任何标准都无法与之相适应 这就 使得在对它进行统计检验时 找不到一个参考标准即 0 当然也就无法运用传统意义上的U检验或t检 验等方法了 类似的例子有很多 这里就提出了一个问题 在总体方差和数学期望未知的情况下 又如何 检验假设H0 0呢 现有的众多的数理统计学教科书中没有涉及 笔者翻阅了大量的这方面的文献资 料 也没有看到对这一问题的讨论和研究 不知个中原因何在 我们认为 积极开展对这一问题的研究 有着重大的理论意义和实践意义 突出表现在这个问题的解决能够为抽样推断提供理论依据 我们知 道 抽样推断就是以样本指标推断总体指标 但需知这种推断是建立在一定的前提条件之下的 这个前 提就是样本的信息结构必须与总体的信息结构相近或相同 当两者不一致时 其推断则必是错误的 2 那 么 又该如何去判断样本的信息结构与总体的信息结构相一致呢 现有的文献也没有给出答案 但如果 这一问题得到了有效的解决 也就是说能够在总体方差和数学期望未知的情况下 根据一定的显著性水 平 对检验假设H0 0作出判断 如接受检验假设H0 0 则可以认为样本的信息结构是与总体 的信息结构相一致的 否则则认为是不一致的 一致 就可以进行抽样推断 不一致 就不能进行抽样推 断 这也彻底地消除了抽样推断时必须具有的 样本的信息结构必须与总体的信息结构相近或相同 的 常州技术师范学院学报 JOURNAL OF CHANGZHOU TEACHERS COLLEGE OF TECHNOLOGY 2002年6月 Vo1 8 No 2 第8卷第2期 Jun 2002 未知总体方差和数学期望条件下的假设检验 谢忠秋 常州技术师范学院 经济管理系 江苏 常州213001 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 常州技术师范学院学报 16 第8卷 前提假定 从而使得人们完全可以根据样本的信息结构状况来进行抽样推断 抽样推断有了科学的理论 依据 下面给出解决这一问题的思路 推导过程及步骤 并运用例证加以说明 2思路 推导过程及步骤 2 1思路 众所周知 对于一个正态总体 已知 而未知 检验假设H0 0是用t检验 t统计量公式为 t x s n 显然在未知 和 的情况下就不能直接应用上述公式 但是否能通过一定的变换以找出一个 x 的替换变量呢 我们解决这一问题的基本思路正是从此出发 借助于一个比例系数 并充分利用样 本信息 包括样本最大值 m 样本最小值 l 样本平均数 x 等信息 通过数学推导和统计处理 找到 了关于 x 的替换变量 1 m l 从而新构造出一个t统计量 计算公式如下 t 1 1 1 3 1 m l D x n 最后选择显著性水平 查出临界值t 2 n 1 并与t值比较 以决定是接受H0还是拒绝H0 212推导过程 设 M 1 M L 1 m x 2 m l 2 式中 M表示全及总体资料的最大值 m表示样本总体资料的最大值 L表示全及总体资料的最小值 l表示样本总体资料的最小值 表示总体数学期望 x表示样本平均数 1 2分别是指全及总体和样本总体的最大值与平均数的离差占总离差 极差 的比例 显而易见 当全及总体的信息结构与样本总体的信息结构相一致时 则必定表现为总体的 1和样本的 2是相等 的 不妨设 1 2 于是 1 式减 2 式 并移项整理得 x 1 m M l L 3 令M x 1 L x 2 式中 1表示全及总体最大值M与样本平均数x之差 2表示样本平均数 x与全及总体最小值L之差 代入 3 式并整理得 x 1 m x l x 2 1 1 4 而 2 1 1 2 1 1 M L 1 M M x x 0 所以有 x 1 m x l x 5 而在 5 式中 m x是一个大于0的数 l x是一个小于0的数 1 m x 和 l x 正好正 负数抵消 因此有必要消除正负数的影响 在统计上通行的做法是采用平方和的处理方法 即对离差 m x l x 分别取平方计算平均数 然后再开方以求得所需要的指标值 于是 5 式可变换为下列 式子 x 1 m x 2 l x 2 6 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 由于 m x m l x l 1 m l 代入 4 式 得 x 1 m l 2 1 m l 0 t 2 n 1 则拒绝H0 可以认为样本平均数与总体平均数之间存在系统偏差 也 可以认为样本的信息结构与总体的信息结构不相一致 因而用样本指标推断总体指标则是错误的 3例证运用 下面我们试通过实例说明其应用 为了更好地说明问题 我们特设定一个全及总体 样本数据均取 之于全及总体 共选取3个样本 其中一个按等距 无关标志 抽样方式抽取样本 另外两个则表现为极 端情况 一个是由最小数据群所组成的样本 一个是由最大数据群所组成的样本 同时也给出了三个样 本的用传统的t检验方法所得的结果 以便与新的t检验方法所得的结果作一比较 所设定的全及总体为某小学毕业班120名学生 120名学生的数学成绩分布如下 5892696784945774748351626462725856767683 8356729874846883798559597372546978688284 7978787977828482848281869479745472686345 谢忠秋 未知总体方差和数学期望条件下的假设检验第2期 17 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 常州技术师范学院学报 18 第8卷 9379425568706473735446647477766968665472 5072626390745473896887748675508267628844 6988727455906676647465737269687560797780 现假定该成绩按学号排列 由甲 乙 丙三人来抽样 每人共抽取30名学生 甲按等距抽样方式进 行 由于N 120 n 30 则k 4 设甲第一个抽取的是第1个单位 则其后依次为5 9 13 113 117 该数据称为随机组数据 列于表1第1行至第3行 乙按最高成绩抽取 即抽取第1名到第30名的30名 学生 该数据称为最高组数据 列于表1第4行至第6行 丙按最低成绩抽取 即抽取第91名到第120名 的30名学生 该数据称为最低组数据 列于表1第7行至第9行 三个样本的数据资料见表1 表1样本数据表 T ab 1 Sample data 甲样本 58 79 50 84 79 90 74 84 89 64 94 86 56 72 67 83 93 69 74 68 55 79 73 64 73 74 72 78 68 60 乙样本 80 83 88 81 84 88 82 84 89 82 84 90 82 84 90 82 84 92 82 85 93 83 86 94 83 86 94 83 87 98 丙样本 42 54 59 44 54 60 45 55 62 46 55 62 50 56 62 50 56 62 51 57 63 54 58 63 54 58 64 54 59 64 运用本文所提供的t检验方法所得的结果见表2 表2运用本文提供的t检验方法所得的结果 T ab 2 The result from thet testing method provided by the article 项目序号甲样本乙样本丙样本项目序号甲样本乙样本丙样本 x 1 73 566 6786 155 766 67 5 1 5 11 0 065 6780 130 761 0 103 288 m 2 949864 x 12 21 944 158 519 977 10 607 66 l 3 508042E x 13 22 166 7210 306 79 11 998 47 m x 4 20 433 3311 98 233 33方差 s2 14 0 801 21410 931 17 11 586 78 x l 5 23 566 676 113 666 7n 15 303030 m l 6 441822t 16 1 361 93 2 960 11 2 237 94 7 0 464 3940 661 111 0 374 242 17 0 050 050 05 1 8 0 535 6060 338 889 0 625 758t 2 30 1 18 2 0452 0452 045 1 9 0 248 7320 224 043 0 234 185比较 19 t t 2t t 2 1 3 1 10 0 253 8030 327 870 297 445结论 20 接受H0拒绝H0拒绝H0 注 1 x 7 8 0 5 6 2 E x 10 0 5 6 3 s2 11 0 5 10 6 2 4 t 12 13 14 15 0 5 运用一般的t检验方法所得的结果见表3 从表2和表3可以看出 两种方法所得的结论是完全一致的 但本文提供的方法较之一般方法又有 了进一步的发展 其一 不需要已知某种标准信息 就能对样本平均数是否与总体平均数相一致进行检 验 应用更具有广泛性 其二 能够为抽样推断提供先行信息 并根据此信息作出是否抽样推断的判断 消除了抽样推断时所隐含的 样本信息结构必须与总体信息结构相近或相一致 的前提条件 使得抽样 推断有了可靠的理论依据 其三 可以更好地利用样本信息 同样需要值得注意的是 M L是极值 稳定 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 谢忠秋 未知总体方差和数学期望条件下的假设检验第2期 19 责任编辑蔡海葆 Hypothetic Test under the Condition of the Unknown Total Variance and Expentancy XIE Zhong qiu Department of Economic Management Changzhou Teachers College of Technology Changzhou 213001 China Abstract This paper proposes a feasible method of deducingH0 0with total variance and expectan cy unknown as it is a controversial issue in statistics The method lays stress on theory and practice just for the following reasons one could test the consistence between sample and total means without some stan dard information the other is to make sampling deduce or not on theoretic