【志鸿全优设计】高中数学 2.5等比数列的前n项和目标导学 新人教A版必修5.doc

2.5等比数列的前n项和1理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法2能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题3掌握等比数列前n项和的性质及应用等比数列的前n项和公式数列an是公比为q的等比数列，则当q1时，sn_；当q1时，sn_.(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q1或q1)(2)当q1时，若已知a1及q，则用公式sn较好；若已知an，则用公式sn较好【做一做】 等比数列an的公比q2，首项a12，则sn等于()an2n bn2n c2n12 d2n1答案：na1【做一做】 c1等比数列的前n项和公式与函数的关系剖析：当公比q1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是sn，它可以变形为snqn，设a，上式可写成snaqna.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时，因为a10，所以snna1，是n的正比例函数当q1时，数列s1，s2，s3，sn，的图象是函数yaqxa图象上的一群孤立的点当q1时，数列s1，s2，s3，sn，的图象是正比例函数ya1x图象上的一群孤立的点2等比数列前n项和的性质剖析：等比数列an的公比为q，则有：(1)性质1：若某数列的前n项和公式为snaqna(a0，q0且q1，nn*)，则此数列一定是等比数列(2)性质2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列即sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列，公比为qn(q1)在运用性质(2)时，要注意的是sm，s2msm，s3ms2m，成等比数列，而sm，s2m，s3m不一定成等比数列(3)性质3：在等比数列an中，当总项数为2n时，s偶qs奇(4)性质4：在等比数列an中，公比为q，则a1a2a3ana，(5)性质5：snmsnqnsm.推导如下：设首项为a1，公比为q.若q1，显然成立若q1，则smn，sn，sm，snqnsm(1qnqnqmn)(1qmn)smn.此性质还可推导如下：smna1a2anan1anm1anmsna1qna2qna3qnamqnsnqn(a1a2am)snqnsm.(6)an为等比数列snaqnb(ab0)题型一 等比数列前n项和的有关计算问题【例题1】 在等比数列an中，已知sn189，q2，an96，求a1和n.分析：已知an，sn，q，可列方程组求a1和n.反思：等比数列的前n项和公式中共有五个量：sn，an，a1，q，n.“知三求二”是常见题型，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除题型二 等比数列前n项和的性质应用【例题2】 在等比数列an中，已知sn48，s2n60，求s3n.分析：用求和公式直接求解或用性质求解反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组，求出a1和q，再求解；这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如本题解法二特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之巧效题型三 实际应用问题【例题3】 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(1)求n年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元分析：(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式反思：1.解数列应用题的具体步骤是：(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an，还是sn？特别要注意准确弄清项数为多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式2价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决题型四 易错辨析【例题4】 已知等比数列an中，a12，s36，求a3和q.错解：由等比数列的前n项和公式，得s36，解得q2.故a3a1q22(2)28.错因分析：在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式sn，从而有可能出现漏解情况反思：在使用等比数列的前n项和公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论当q1时，snna1；当q1时，sn.答案：【例题1】 解：由sn及ana1qn1，得，得，解得2n64，则n6.代入，得a13.【例题2】 解法一：s2n2sn，q1.由已知，得，得1qn，即qn.代入，得64.故s3n6463.解法二：an为等比数列，sn，s2nsn，s3ns2n也成等比数列，(s2nsn)2sn(s3ns2n)，s3ns2n6063.【例题3】 解：设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1400，an1anan，.an是公比为的等比数列sn1 600，即n年内旅游业总收入为1 600万元(2)由(1)知sn1 600，令sn8 000，即1 6008 000，n6.lgnlg 6.n8.029 6.大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元【例题4】 正解：若q1，则s33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得s36，解得q1(舍去)或q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.1(2011北京朝阳一模)已知an是由正数组成的等比数列，sn表示an的前n项的和若a13，a2a4144，则s10的值是()a511 b1 023 c1 533 d3 0692在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.3已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为_4一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是_5等比数列an的前n项和为sn，已知s1，s3