【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.3.2 函数的极值与导数讲解与例题 新人教A版选修11.doc

3.3.2函数的极值与导数问题导学一、求函数的极值活动与探究1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x)3ln x迁移与应用1如图为yf(x)的导函数图象，则下列判断正确的是()f(x)在(3,1)上为增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上为减函数，在(1,2)上是增函数；x2是f(x)的极小值点a b c d2求函数f(x)sin xx，x(0,2)的极值求函数极值的方法：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的全部实根；(3)列表，检查f(x)在方程f(x)0的根左、右的值的符号；(4)判断单调性，确定极值二、求含参数的函数的极值活动与探究2(1)设f(x)x33ax(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点(2)求函数f(x)x33x22在(a1，a1)内的极值(a0)迁移与应用设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由(1)对于可导函数而言，它的单调递减和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点解题时，按照求函数极值的步骤来解，要注意表格的作用，利用表格，可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值(2)如果含有参数，必要时要对参数的取值进行讨论通常有三类：一类是对f(x)0是否有解进行讨论，二是对f(x)0的根是否在所给区间或定义域内进行讨论，三是对f(x)0在所给区间或定义域内的根大小进行讨论三、由函数的极值确定参数的值活动与探究3(1)已知函数f(x)xaln x在x1处取得极值，则a与b满足的关系式为_(2)已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值，求a，b的值，并确定f(1)和f(1)是函数的极大值还是极小值迁移与应用1已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值2已知函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处有极值，求b，c的值已知一个函数，可以用单调性研究它的极值反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取到极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件答案：课前预习导学【预习导引】1(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0f(x)0极大值点极小值点极大值极小值预习交流1提示：(1)对于可导函数来说，yf(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点例如，函数yx3在x0处，f(0)0，但x0不是函数的极值点(2)可导函数yf(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0的左侧与右侧，f(x)的符号不同(3)若函数yf(x)在(a，b)上有极值，则yf(x)在(a，b)上不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值例如，函数yx2在2,2上有极值，其单调性是先减后增；函数yx3在r上是单调递增函数，没有极值(4)函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小预习交流2提示：15课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：先求f(x)0时x的值，然后列表，根据极值的定义判断在这些点处的极值情况解：(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为r，且f(x)3x26x9解方程3x26x90，得x11，x23当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减极小值3单调递增因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值迁移与应用1b解析：x(3，1)时，f(x)0，x(1,2)时，f(x)0，f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2)上为增函数，不对；x1是f(x)的极小值点；x(2,4)时，f(x)0，f(x)是减函数；x2是f(x)的极大值点故正确2解：f(x)cos x，令f(x)cos x0，得cos x又x(0,2)，x或x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x时，f(x)取极大值；当x时，f(x)取极小值活动与探究2(1)思路分析：求单调区间时，注意对参数a的讨论，以便确定f(x)的符号解：f(x)3(x2a)(a0)当a0时，f(x)0恒成立，即函数f(x)在(，)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点当a0时，令f(x)0，得x1，x2当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增f()单调递减f()单调递增因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点(2)思路分析：求出f(x)在r上的单调区间，判断区间(a1，a1)与f(x)单调区间的关系，分类讨论求解解：由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值迁移与应用解：(1)因为f(x)aln xbx2x，所以f(x)2bx1由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，即解方程组得a，b(2)由(1)知f(x)ln xx2x(x0)，故f(x)x1x1当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数取得极大值ln 2所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点活动与探究3(1)思路分析：利用“若函数yf(x)在xx0取得极值，则f(x0)0”求a与b满足的关系式ab1解析：f(x)1x1时，函数f(x)取得极值，f(1)0ab1(2)思路分析：由函数f(x)在x1处取得极值，则f(1)0，f(1)0，列方程组求出a，b的值，再判断f(x)的单调性，确定f(1)，f(1)是极大值还是极小值解：f(x)3ax22bx3，依题意f(1)f(1)0，即解得a1，b0，f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x11，x21，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(1)2是极大值，f(1)2是极小值迁移与应用1解：(1)当x1时，函数有极大值3，解之，得a6，b9(2)f(x)18x218x18x(x1)当f(x)0时，x0或x1当f(x)0时，0x1；当f(x)0时，x0或x1函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)02解：f(x)x22bxc，由f(x)在x1处有极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值12单调递增极大值单调递减当x1时，f(x)有极大值，故b1，c3即为所求当堂检测1设函数f(x)ln x，则()a为f(x)的极大值点b为f(x)的极小值点cx2为f(x)的极大值点dx2为f(x)的极小值点答案：d解析：由f(x)0可得x2当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点2已知函数y|x21|，则()ay无极小值，且无极大值by有极小值1，但无极大值cy有极小值0，极大值1dy有极小值0，极大值1答案：c解析：函数y|x21|的大致图象如图所示函数y有极小值0，极大值1故选c3设f(x)x(ax2bxc)，其中a0，并且在x1或x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()a(a，b) b(a，c) c(b，c) d(ab，c)答案：a解析：f(x)ax3bx2cx，f(x)3ax22bxc又在x1或x1处f(x)取极值，x1或x1是方程3ax22bxc0的两根，b0点(a，b)在x轴上4如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是_(填序号)答案：解析：函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择由于函数在x2的左侧递增，右侧