【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.2 反证法讲解与例题 新人教A版选修12.doc

2.2.2反证法问题导学一、用反证法证明否定性命题活动与探究1已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负根迁移与应用设a，b，c，dr，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1当要证的结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明直线异面，可以先假设它们共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾二、用反证法证明“至多”“至少”问题活动与探究2若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根迁移与应用若x0，y0，且xy2，求证：与中至少有一个小于2(1)结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断三、用反证法证明“唯一”问题活动与探究3已知直线m与直线a和b分别交于a，b且ab，求证：过a，b，m有且只有一个平面迁移与应用过平面内的一点a作直线a，使得a，求证：直线a是唯一的1当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了2用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用答案：课前预习导学【预习导引】1(1)间接证明(2)不成立原命题成立(3)已知条件假设定义、定理、公理、事实预习交流证明：假设a不是偶数，则a一定是奇数设a2n1(n是整数)，则a2(2n1)24n24n1，因为4(n2n)是偶数，所以4(n2n)1是奇数，即a2为奇数，这与已知a2是偶数相矛盾故假设不成立，所以a也是偶数课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：证明：假设x0是f(x)0的负根，则x00且x01且，由01，得01，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负根迁移与应用证明：假设a2b2c2d2abcd1因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾故假设不成立，所以a2b2c2d2abcd1活动与探究2思路分析：结论中含有词语“至多”，宜采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有两个”证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根迁移与应用证明：假设与都大于等于2，即2，2因为x0，y0，所以1y2x，1x2y得2xy2x2y，所以xy2，这与已知条件xy2矛盾，所以假设不成立，所以与中至少有一个小于2活动与探究3思路分析：首先证明过a，b，m有一个平面，再假设过a，b，m还存在平面异于，从而得出矛盾，结论得证证明：ab，过a，b有一个平面又maa，mbb，aa，bb，a，b又am，bm，m即过a，b，m有一个平面假设过a，b，m还有一个平面异于平面则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面相矛盾因此，过a，b，m有且只有一个平面迁移与应用证明：假设这样的直线不唯一，则过点a至少还有一条直线b，使得b直线a，b是相交直线，直线a，b可以确定一个平面设和相交于过点a的直线ca，c，ac同理可得bc这样在平面内，过点a就有两条直线垂直于c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，故假设错误，从而这样的直线a是唯一的当堂检测1实数a，b，c不全为0是指()aa，b，c均不为0ba，b，c至少有一个为0ca，b，c至多有一个为0da，b，c至少有一个不为0答案：d解析：“a，b，c不全为0”是“a0，b0，c0”的否定，因此应为a，b，c至少有一个不为02用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是()a假设成立b假设成立c假设或成立d假设且成立答案：c3用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()a假设三内角都不大于60b假设三内角都大于60c假设三内角至少有一个大于60d假设三内角至多有两个大于60答案：b解析：三个内角至少有一个不大于60，即有一个、两个或三个不大于60，其反设为都大于60，故b正确4用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：abc9090c180，这与三角形的内角和为180矛盾，故假设错误；所以一个三角形不能有两个直角；假设abc中有两个直角，不妨设a90，b90上述步骤的正确顺序为_答案：5下列叙述正确的有_(填序号)“ab”的反面是“ab”；“xy”的反面是“xy或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”答案：解