高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 综合法、分析法、反证法课件 理 北师大版.ppt

13 2综合法 分析法与反证法 第十三章推理与证明 算法 复数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 综合法 1 定义 从出发 利用定义 公理 定理及运算法则 通过 一步一步地接近要证明的 直到完成命题的证明 我们把这样的思维方法称为 2 框图表示 其中p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示要证明的结论 知识梳理 命题的条件 演绎推理 结论 综合法 2 分析法 1 定义 从出发 一步一步地探索保证前一个结论成立的 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 公理 定理等 我们把这样的思维方法称为 2 框图表示 求证的结论 充分条件 分析法 3 反证法我们可以先假定命题结论的 在这个前提下 若推出的结果与定义 公理 定理相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 反证法的证题步骤是 1 作出否定结论的假设 2 进行推理 导出 3 否定假设 肯定 反面成立 矛盾 结论 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 若p a 0 则p q的大小关系是a p qb p qc p qd 由a的取值确定 答案 解析 1 2 3 4 5 6 p2 q2 又 p 0 q 0 p q 3 设实数a b c成等比数列 非零实数x y分别为a与b b与c的等差中项 则等于a 1b 2c 4d 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解析 答案 题组三易错自纠4 若a b c为实数 且aab b2 1 2 3 4 5 6 解析a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 5 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要作的假设是a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实根c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析方程x3 ax b 0至少有一个实根的反面是方程x3 ax b 0没有实根 故选a 解析 答案 1 2 3 4 5 6 6 2017 德州一模 如果 a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于 a2b2c2的三个内角的正弦值 则 a2b2c2是 三角形 钝角 1 2 3 4 5 6 解析由条件知 a1b1c1的三个内角的余弦值均大于0 则 a1b1c1是锐角三角形 假设 a2b2c2是锐角三角形 1 2 3 4 5 6 所以 a2b2c2是钝角三角形 题型分类深度剖析 1 2018 绥化模拟 设a b c均为正实数 则三个数a 都大于2b 都小于2c 至少有一个不大于2d 至少有一个不小于2 题型一综合法的应用 自主演练 解析 a 0 b 0 c 0 当且仅当a b c 1时 成立 故三者不能都小于2 即至少有一个不小于2 解析 答案 解析 答案 a 0 b 0且a b 3 2018 武汉月考 若a b c是不全相等的正数 求证 证明 证明 a b c 0 由于a b c是不全相等的正数 上述三个不等式中等号不能同时成立 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 题型二分析法的应用 师生共研 证明 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 若本例中f x 变为f x 3x 2x 试证 对于任意的x1 x2 r 均有 证明 因此只要证明 x1 x2 x1 x2 即证明 因此只要证明 由于当x1 x2 r时 0 0 由基本不等式知 显然成立 当且仅当x1 x2时 等号成立 故原结论成立 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 证明 题型三反证法的应用 多维探究 解答 命题点1证明否定性命题典例 2018 株州模拟 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 解设 an 的前n项和为sn 则当q 1时 sn a1 a1 a1 na1 当q 1时 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qsn a1q a1q2 a1qn 得 1 q sn a1 a1qn 2 设q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 证明假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 证明 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 命题点2证明存在性命题典例已知四棱锥s abcd中 底面是边长为1的正方形 又sb sd sa 1 1 求证 sa 平面abcd 证明由已知得sa2 ad2 sd2 sa ad 同理sa ab 又ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd sa 平面abcd 证明 2 在棱sc上是否存在异于s c的点f 使得bf 平面sad 若存在 确定f点的位置 若不存在 请说明理由 解假设在棱sc上存在异于s c的点f 使得bf 平面sad bc ad bc 平面sad bc 平面sad 而bc bf b 平面fbc 平面sad 这与平面sbc和平面sad有公共点s矛盾 假设不成立 不存在这样的点f 使得bf 平面sad 解答 命题点3证明唯一性命题典例 2018 宜昌模拟 已知m是由满足下列条件的函数构成的集合 对任意f x m 方程f x x 0有实数根 函数f x 的导数f x 满足0 f x 1 解答 解 当x 0时 f 0 0 所以方程f x x 0有实数根0 证明假设方程f x x 0存在两个实数根 则f 0 f 0 不妨设 根据题意存在c 满足f f f c 因为f f 且 所以f c 1 与已知0 f x 1矛盾 又f x x 0有实数根 所以方程f x x 0有且只有一个实数根 2 集合m中的元素f x 具有下面的性质 若f x 的定义域为d 则对于任意 m n d 都存在x0 m n 使得等式f n f m n m f x0 成立 试用这一性质证明 方程f x x 0有且只有一个实数根 证明 应用反证法证明数学命题 一般有以下几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知事实矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 跟踪训练若f x 的定义域为 a b 值域为 a b a b 则称函数f x 是 a b 上的 四维光军 函数 解答 因为b 1 所以b 3 解答 解得a b 这与已知矛盾 故不存在 典例 12分 2018 衡阳模拟 直线y kx m m 0 与椭圆w y2 1相交于a c两点 o是坐标原点 1 当点b的坐标为 0 1 且四边形oabc为菱形时 求ac的长 2 当点b在w上且不是w的顶点时 证明 四边形oabc不可能为菱形 反证法在证明题中的应用 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导在证明否定性命题 存在性命题 唯一性命题时常考虑用反证法证明 应用反证法需注意 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 正确作出假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 规范解答 1 解因为四边形oabc为菱形 则ac与ob相互垂直平分 由于o 0 0 b 0 1 2 证明假设四边形oabc为菱形 因为点b不是w的顶点 且ac ob 所以k 0 消y并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 6分 设a x1 y1 c x2 y2 则 因为m为ac和ob的交点 且m 0 k 0 所以ac与ob不垂直 10分 所以四边形oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b在w上且不是w的顶点时 四边形oabc不可能是菱形 12分 课时作业 a a b cb a c bc b c ad c b a 基础保分练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 分析法又称执果索因法 若用分析法证明 设a b c 且a b c 0 求证 索的因应是a a b 0b a c 0c a b a c 0d a b a c 0 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a c 2 ac0 a c 2a c 0 a c a b 0 3 2017 郑州模拟 设x 0 p 2x 2 x q sinx cosx 2 则a p qb p qc p qd p q 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为2x 2 x 2 当且仅当x 0时等号成立 而x 0 所以p 2 又 sinx cosx 2 1 sin2x 而sin2x 1 所以q 2 于是p q 故选a 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 已知p3 q3 2 证明 p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 若a b r a b 1 求证 方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1 用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1 即假设 x1 1 以下结论正确的是a 与 的假设都错误b 的假设正确 的假设错误c 与 的假设都正确d 的假设错误 的假设正确 解析对于 结论的否定是p q 2 故 中的假设错误 对于 其假设正确 故选d 5 若 a b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2 b2 ab b2 a b 0 a b a b 6 2018 济宁模拟 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是a b c d 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 但a2 故 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 推不出 对于 即a b 2 则a b中至少有一个大于1 下面用反证法证明 假设a 1且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 a b中至少有一个大于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 用反证法证明命题 a b r ab可以被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 那么假设的内容是 a b都不能被5整除 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cn 1 cn 解析由条件得 则cn随n的增大而减小 cn 1 cn 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 2017 武汉联考 已知直线l 平面 直线m 平面 有下列命题 l m l m l m l m 其中正确命题的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2017 黄冈模拟 设数列 an 的前n项和为sn 且 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3且m 0 1 求证 an 是等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 证明由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减 得 3 m an 1 2man m 3且m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 3 m sn 2man m 3 3 m a1 2ma1 m 3 a1 1 当n n 且n 2时 12 2017 北京 设 an 和 bn 是两个等差数列 记cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中max x1 x2 xs 表示x1 x2 xs这s个数中最大的数 1 若an n bn 2n 1 求c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解c1 b1 a1 1 1 0 c2 max b1 2a1 b2 2a2 max 1 2 1 3 2 2 1 c3 max b1 3a1 b2 3a2 b3 3a3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2 当n 3时 bk 1 nak 1 bk nak bk 1 bk n ak 1 ak 2 n 0 所以bk nak在k n 上单调递减 所以cn max b1 a1n b2 a2n bn ann b1 a1n 1 n 所以对任意n 1 cn 1 n 于是cn 1 cn 1 所以 cn 是等差数列 2 证明 或者对任意正数m 存在正整数m 当n m时 或者存在正整数m 使得cm cm 1 cm 2 是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明设数列 an 和 bn 的公差分别为d1 d2 则bk nak b1 k 1 d2 a1 k 1 d1 n b1 a1n d2 nd1 k 1 当d1 0时 因此 cn b1 a1n 此时 cm cm 1 cm 2 是等差数列 当d1 0时 对任意n 1 cn b1 a1n n 1 max d2 0 b1 a1 n 1 max d2 0 a1 此时 c1 c2 c3 cn 是等差数列 当d1 0时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n d1 d1 a1 d2 b1 d2 对任意正数m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 2018 长春模拟 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点c 使f c 0 则实数p的取值范围是 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析若二次函数f x 0在区间 1 1 内恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明由于x 1 y 1 只需证xy x y 1 y x xy 2 将上式中的右式减左式 得 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 因为x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 解当n 1时 a1 s1 2a1 2 则a1 1 又an sn 2 所以an 1 sn 1 2 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 2018 中山模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 解答 证明假设存在三项按原来顺序成等差数列 记为ap 1 aq 1 ar 1 p q r 且p q r n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差