复变函数教案3.2.doc

第三章教学课题：第二节 柯西积分定理教学目的：1、充分掌握柯西积分定理以及其等价形式；2、理解柯西积分定理的推广形式；3、理解复积分的不定积分与原函数概念并了解与实积分定理的区别；4、了解多连通区域内的变上限积分。教学重点：柯西积分定理以及其等价形式；教学难点：柯西积分定理以及其等价形式教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但柯西积分定理是整个复变函数论的基础。 教学过程：1、柯西积分定理：定理3.3 设f(z)是在单连通区域D内的解析函数。设C是D内的一个多角形的周界。那么,在这里沿C的积分是按反时针方向取的。证明：先对C是三角形周界的情形进行证明，然后证明一般情形。（1）C为三角形的周界设，下面证明M=0。等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，它们的周界分别是，我们显然有：因此，沿周界的积分中，至少有一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为：对于这个三角形周界为，我们也把它等分成四个全等的三角形，其中一个的周界满足：把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且有下面的不等式：，用U表示周界的长度，于是周界的长度是。现在估计的模。由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的全部三角形，而且，因此由数学分析中的闭区域套定理，得存在着一点属于序列中的所有三角形。又因为f(z)在有导数，所以，使得当时,于是当时，。显然，当n充分大时，所确定的圆盘内，因此当时，上式成立，且有，所以，其次，由于，我们有于是当n充分大时，因此，有即，由于的任意性，我们得到M=0。(2) C为一个多角形的周界P：如图，用对角线把以P为周界的多角形分成若干个三角形，就可以把沿P的积分表示成沿这些三角形周界的积分之和：因此每条对角线上积分彼此相互抵消，再利用第一步的证明，有。设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，有F(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有其中，我们已经证明，在D内，有，因此，。凸区域：区域D是一个凸区域，如果连接D中任意两点的线段也包含在D内，即。定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，设C是D内任一条简单闭曲线，那么,其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。推论3.5 C是在D内连接及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从到z的积分值由及z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为.证明：先证明(1)成立。在C上任取一点，可以作出圆盘：,因为圆盘是凸区域，由引理2.2，f(z)在内有原函数。由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为并且用表示f(z)在这些圆盘中的原函数。取其中是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有这里，用表示沿C从的弧上的积分，用表示从的线段上的积分。由引理2.3，有因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得；下面证明（2）成立。设是在D内连接及z两点的另一条简单曲线。则是D内的一条简单闭曲线，由（1），有,而所以定理的结论成立。定理3.1 设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么。定理3.2 设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。证明：取定，由定理3.1，得是在D内确定得一个函数。取充分接近，把D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接及z的线段的并集。于是有这里积分是沿及z的联线取的，同样可证，有。例1、 设D是不含a的一个单连通区域，并且，那么其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得得区域内，我们有其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及的值。注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域。设f(z)在上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿按反时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此也有：注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明；注解5、以上结论的证明见右图：注解6、多连通区域内的不定积分与多值函数： 设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数：是多值的。可是z当属于包含在D内的某一单连通区域D时，取曲线如下：从沿一个固定的简单曲线到D内一点，然后从沿在D内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在D内解析。改变从的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在D内的不同解析分支。例2、在圆环内，解析，在D内取定两点。作连接的两条简单曲线，如图，取定Argz在的值为。当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。于是当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。现在求沿的积分。令，则从而同样求得这样，在含的一个单连通区域（在D内）内，相应，多值函数有两个不同的解析分支相应于连接的其它曲线，还可得到F(z)在D内的其它解析分支，F(z)就是对数函数定理3.4设f(z)是凸区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。证明：取定，任取，由区域D的凸性，有连接及z的线段一定包含在D中。令，记为。则F(z)是在D内确定的一个函数。下面证明F是f在D内的一个原函数。取，连接及z的线段一定包含在D中。考虑顶点为的三角形，由定理3.3，得其中所以由于f(z)在连续，使得于是，从而有。定理3.5 设f(z)是区域D内的连续函数，并且在D内有原函数F(z)。如果，并且C是D连接的一条曲线，那么注解1、此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的