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三角函数的恒等变形与求值 新华中学蒋同山 一 学习目标 1 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程 2 能利用已知条件 正确合理地运用三角恒等变形公式进行三角函数式的化简 求值及恒等式证明 二 课前诊断 2 已知 则 问题 角是否已确定 除明显条件外 有无隐含条件 如何将条件简化 点评 三个基本形式三者之间的转化要很熟练 注意角的范围可避免讨论 1 变题1 若为第二象限角 则 问题 从条件和结论的角度看 化简方向是否已确定 有无函数名的差异 如何转化 变题2 问题 从条件和结论的角度看 二倍角的正弦往单角的正弦转化还需要什么中间环节 有无符号问题 点评 用两角和的正切公式与韦达定理化简求值 3 变题 若 则 点评 本题需求正弦值 显然必须切化弦 然后利用正余弦平方和为1将式子简化 最后逆用二倍角公式即得 点评 利用三角恒等变换化为一个角的三角函数从而由三角函数的有界性得值域 点评 先用倍角公式 再用同角三角函数的基本关系式 最后用和角三角函数的公式 三角函数式化简目标 1 项数尽可能少 2 三角函数名称尽可能少 3 角尽可能小和少 4 次数尽可能低 5 分母尽可能不含三角式 6 尽可能不带根号 7 能求出值的求出值 小结 三 例题探究 问题 题干中三个角成等差数列实际是什么 三边成等比数列如何与角联系 三 例题探究 点评 先化简f x 立得最小正周期 再抓住平移得g x 最后由角度范围求最值 三角恒等变换的常见思路 1 角变换 观察各角之间的和 差 倍 补 余关系 减少角的种类 化异角为同角 2 函数名称变换 观察比较题设与结论之间 等号两端之间函数名称的差异 化异名为同名 3 特殊常数的变换 尤其是 1 4 次
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