第4章弯曲内力.ppt

第4章弯曲内力Internalforceofbending 4 1基本概念及工程实例4 2剪力和弯矩4 3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图4 4载荷集度q 剪力Q和弯矩M之间的导数关系4 5叠加法作弯矩图4 6平面刚架和曲杆的内力图 4 1平面弯曲的概念和实例 Basicconceptsandexampleproblems 列车车厢的车轴 桥式起重机的横梁 受力特点 构件受到垂直于其轴线的载荷作用 变形特点 构件的轴线由直线变成曲线 具备上述受力与变形 称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁 beam 平面弯曲的概念梁的轴线弯曲后所在的平面与载荷作用的平面相重合的弯曲 称为平面弯曲 planebending 梁的简化 受弯杆件的简化 梁本身的简化 通常可用梁的轴线来代替实际的梁 即梁的力学模型 集中载荷集中力 concentratedforce 集中力偶 concentratedcouple 分布载荷体分布载荷 bodydistributedload 面分布载荷 surfacedistributedload 线分布载荷 linedistributedload 载荷的简化 约束的简化 同理论力学中支座的简化 4 2 4静定梁的类型 简支梁 外伸梁 悬臂梁 simplysupportedbeam overhangingbeam cantileverbeam 4 2梁的剪力和弯矩 Shear forceandbending momentinbeams 一 内力计算 Calculatinginternalforce 解 求支座反力由平衡方程 可得 求内力 截面法 弯矩 Bendingmoment M构件受弯时 横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩 剪力 Shearforce Q构件受弯时 横截面上其作用线平行于截面的内力 梁上某截面上剪力若绕该截面所在的研究对有顺时针转向 规定为正 反之 为负 口诀 左上右下为正 左下右上为负 注 左 指的是待确定符号的剪力所在截面在它相应的研究对象的左侧 上 指方向向上 余类推 剪力的符号规定 弯矩的符号规定 口诀 左顺右逆为正 左逆右顺为负 注 上述 左 右 顺 逆 与剪力符号规定作相同理解 确定图示简支梁x截面处的内力 1 求支座反力 2 取出分离体 计算截面内力 由平衡方程易得 前面是取左段作为研究对象 若取右段作为研究对象 在x截面会得到完全相同的结果 剪力运算规则梁上某截面上的剪力 可以由该截面左侧 或右侧 梁上全部外力来计算 左侧向上 右侧向下 的外力对该截面产生正的剪力 左侧向下 或右侧向上 的外力对该截面产生负的剪力 可见剪力与所在截面的绝对位置无关 却与外加荷载的相对位置有关 以上例为例 我们无须写出平衡方程 而利用上述运算规则直接写出x截面上的剪力 在左侧有外力RA 和P 则有 在右侧只有外力RB 则有 弯矩运算规则梁上某截面上的弯矩 可以由该截面左侧 或右侧 梁上全部外力来计算 左侧 右侧 向上的外力对该截面产生正的弯矩 左侧 右侧 向下的外力对该截面产生负的弯矩 注 在这里既然考虑的是弯矩就要考虑力臂的因素 左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩 仍然以上例为例 求x截面的弯矩 所谓的剪力与弯矩运算规则的实质是对用平衡方法求解内力的总结 并不是什么新的方法 可以看出 只要我们理解剪力与弯矩运算规则的实质和方法 就可以迅速且准确地计算出指定截面的剪力或弯矩 解求梁的支反力 例题图示的简支梁在C点处受矩为m的集中力偶作用 试作此梁的的剪力图和弯矩图 将坐标原点取在梁的左端 因为梁上没有横向外力 所以全梁只有一个剪力方程 AC段 CB段 AC段和BC段的弯矩方程不同 2 3 剪力图 弯矩图 例题一简支梁受移动荷载F的作用如图所示 试求梁的最大弯矩为极大时荷载F的位置 解先设F在距左支座A为x的任意位置 求此情况下梁的最大弯矩为极大 荷载在任意位置时 支反力为 当荷载P在距左支座为x的任意位置C时 梁的弯矩为 令 此结果说明 当移动荷载F在简支梁的跨中时 梁的最大弯矩为极大 得最大弯矩值 4 3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 若将梁上的内力写成如下关于位置坐标x的函数的表达式 分别称之为梁的剪力方程 equationofshearforce 和弯矩方程 equationofbendingmoment 事实上它们不过是函数表达式而已 如同轴力图和扭矩图 如果我们将上述关于位置坐标x的函数表达式用数学作图的方法绘制出来 则绘制出来的图形分别称为剪力图 shearforcediagram 和弯矩图 bendingmomentdiagram 剪力图和弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图的绘制方法完全相同 对右图示梁 根据剪力与弯矩运算规则 很容易得到它们的剪力和弯矩方程 在AC段 在CB段 请大家留意为什么有开区间和闭区间之分 依据计算作梁的剪力图与弯矩图如右 我们有时将上例中的AC和CB段称为一个力区 所谓力区就是指在一个区段中沿梁的轴线方向没有外载荷的突变 在一个力区中 其剪力和弯矩方程各自具有相同的函数形式 4 4载荷集度q 剪力Q和弯矩M之间的关系 Relationshipsbetweenload shearforce andbendingmoment 一 弯矩 剪力与分布荷载集度间的微分关系 Differentialrelationshipsbetweenload shearforce andbendingmoment 考虑梁中微段dx 其上内力分布及其外力集度如图示 由y方向的平衡方程可得 选择x截面的形心C为矩心 则有 略去上面第二式中的二阶微量 比较上述两式 我们有 此即为梁上内力与载荷集度之间的导数关系 藉此关系 我们便捷地作出梁的内力图 关于集中力 集中力偶的简化 以集中力为例 如右图 集中力在较小范围事实上可看作分布力 其分布力集度为 所以在 x范围内是连续分布的 但在考虑整个梁时只能处理为集中力 按照截面内力与载荷集度之间的导数关系 集中力作用区域 x为剪力斜直线 由此可知 在有集中力的截面 由于剪力突变 为多值函数 故在写剪力方程时 其自变量区间只能是开的 上述讨论同样适用于集中力偶的情况 考虑右图示梁 AC段 CB段 利用载荷集度与截面内力之间的导数关系作图特别适合于复杂问题的作图问题 但要注意如下问题熟悉导数关系 特别是外力集度与内力图之间的关系在作图的时候要求先计算控制截面上的剪力 或弯矩 然后利用外力集度与剪力图或弯矩图的关系作图 利用导数关系作内力图 注意 所谓控制截面就是指剪力或弯矩发生突变的截面 显然 比如在集中力作用的截面 由于截面剪力发生突变 那么该截面的左侧截面和右侧截面均为控制截面 都要计算 而弯矩值是连续的边界点但不突变 所以左侧右侧截面在值相同 所以只要算该截面的弯矩值就可以了 对于集中力偶作同样的理解 1 计算支座反力 例4绘制图示梁的剪力图和弯矩图 2 计算控制截面的内力 附加结论对于多跨梁 其铰接点能承受剪力 但不能承受弯矩 也就是说 该条件可以作为检验内力图正确性的标准 3 根据控制面处的内力和截面内力与集度导数关系作图 三 分布荷载集度 剪力和弯矩之间的积分关系 Integralrelationshipsbetweenload shearforce andbendingmoment 若在x x1和x x2处两个横截面A B间无集中力则 若横截面A B间无集中力偶作用则得 式中MA MB分别为在x a x b处两个横截面A及B上的弯矩 等号右边积分的几何意义是A B两个横截面间剪力图的面积 例题一简支梁受两个力F作用 如图所示 已知F 25 3kN 有关尺寸如图所示 试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求梁的支反力 将梁分为AC CD DB三段 每一段均属无载荷区段 2 剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段 DB段 最大剪力发生在DB段中的任一横截面上 3 弯矩图 每段梁的弯矩图均为斜直线 且梁上无集中力偶 CD段 最大弯矩发生在C截面 4 对图形进行校核 在集中力作用的C D两点剪力图发生突变 突变P 25 3kN 而弯矩图有尖角 在AC段剪力为正值 弯矩图为向上倾斜的直线 在CD和DB段 剪力为负值 弯矩图为向下倾斜的直线 最大弯矩发生在剪力改变正 负号的C截面处 说明剪力图和弯矩图是正确的 4 5叠加法作弯矩图 叠加原理 superpositionprinciple 叠加原理的思想来源于线性代数理论 线性代数理论表明 对线性方程组 其各个特解的叠加仍然是方程组的解 当然前提是线性方程 如果是非线性方程就没有这个结论 在材料力学中 由于使用了线弹性假设 也就是说 构件的内力 应力 变形 应变均与构件所受外力成线性关系 所以叠加原理成立 具体地说 我们把外力看成输入 把内力看成输出 由于输入与输出呈线性关系 如果把一个输入分成两个 或多个 子输入之和 那么与输入对应的输出也可以分成相应的两个 或多个 子输出 而且子输出与子输入也是对应的 同时对线性系统 多个输入的次序与输出结果无关 设某构件受载荷P1和P2共同作用 构件上某截面或某点A处的力学量为 力学量 与载荷之间为线性关系 若载荷P1单独作用时引起的该力学量为 1 且 同样 载荷P2单独作用时该力学量为 2 上两式中a1和a2是与载荷P1和P2不相关的系数 如同弹性系数 若A处在作用P1后再作用P2 由P2引起的该力学量为 式中a 2也是与载荷P1和P2不相关的系数 亦即 1或 2都是和载荷P1或P2成线性关系 这样 构件先作用载荷P1 而后再作用载荷P2时A处的该力学量 为 然后 从构件上解除P1 这时A处的该力力学量为 a 1P1 a 1是区别于a1且与P1和P2无关的系数 这里负号表示卸载 然后再解除P2时 这时A处的该力力学量仍应为 a2P2 P1和P2都解除后 构件应恢复到它的原始状态 该力学量亦等于零 即有 或 由载荷P1和P2的任意性 则必有 从而有加载P1和P2后A处的力学量为 上式表明构件上任意的A处由P1和P2共同作用所引起的力学量 等于P1和P2单独作用时的该力学量和叠加 叠加原理 显然 将上述推导过程中的加载与卸载的P1和P2次序互换 可以得到完全相同的结果 也就是说 叠加原理与加载次序无关 叠加原理的示意例题 载荷的分解与内力图的叠加 4 6平面刚架和曲杆的内力图 Internaldiagramsforplaneframemembers acurvedbars 1 平面刚架的内力 Internalforcesforplaneframemembers 剪力 shearforce 弯矩 bendingmoment 轴力 axialforce 平面刚架是由在同一平面内 不同取向的杆件 通过杆端相互刚性连结而组成的结构 一 平面刚架的内力图 Internaldiagramsforplaneframemembers 弯矩图 bendingmomentdiagram 画在各杆的受压側 不注明正 负号 剪力图及轴力图 shearforceandaxialforcediagrams 可画在刚架轴线的任一側 通常正值画在刚架的外側 注明正 负号 2 内力图符号的规定 Signconventionforinternalforcediagrams 例题18图示为下端固定的刚架 在其轴线平面内受集中力F1和F2作用 作此刚架的弯矩图和轴力图 解 将刚架分为CB AB两段 CB段 N x 0 M x F1x 0 x a Q x F1 0 x a BA段 N x F1 0 x l M x F1a F2x 0 x l Q x